Pokračujeme v chápání základů algebry. Dnes budeme pracovat s tím, že budeme zvažovat akci, jako je např uvedení společného faktoru ze závorek.
Obsah lekceZákladní princip
Distributivní zákon násobení umožňuje násobit číslo částkou (nebo částku číslem). Chcete-li například najít hodnotu výrazu 3 × (4 + 5), můžete vynásobit číslo 3 každým výrazem v závorce a přidat výsledky:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
Číslo 3 a výraz v závorce lze zaměnit (vyplývá to z komutativního zákona násobení). Potom se každý výraz v závorce vynásobí číslem 3
(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15
Zatím nebudeme počítat konstrukci 3 × 4 + 3 × 5 a výsledky získané 12 a 15 sčítat. Ponechme výraz ve tvaru 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Níže jej budeme potřebovat přesně v této podobě, abychom pochopili podstatu vyjmutí společného faktoru ze závorek.
Distributivní zákon násobení se někdy nazývá umístění faktoru do závorek. Ve výrazu 3 × (4 + 5) byl faktor 3 vynechán v závorkách. Vynásobením každým výrazem v závorce jsme jej v podstatě přenesli do závorky. Pro přehlednost to můžete napsat takto, i když není zvykem to psát takto:
3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)
Protože ve výrazu 3 × (4 + 5)číslo 3 se násobí každým výrazem v závorce, toto číslo je společný faktor pro výrazy 4 a 5
Jak již bylo zmíněno dříve, vynásobením tohoto společného faktoru každým členem v závorce jej vložíme do závorky. Ale je možný i opačný proces – společný faktor lze vyjmout ze závorek. V tomto případě ve výrazu 3×4 + 3×5 obecný násobitel je jasně viditelný - jedná se o násobitel 3. Je potřeba to vyjmout z rovnice. Chcete-li to provést, nejprve zapište samotný faktor 3
a vedle něj v závorce se píše výraz 3×4 + 3×5 ale bez společného faktoru 3, protože je vyjmut ze závorek
3 (4 + 5)
Vyjmutím společného činitele ze závorek získáme výraz 3 (4 + 5) . Tento výraz je shodný s předchozím výrazem 3×4 + 3×5
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Pokud spočítáme obě strany výsledné rovnosti, získáme identitu:
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
27 = 27
Jak se společný faktor dostane mimo závorky?
Umístění společného činitele mimo závorky je v podstatě obrácená operace umístění společného činitele do závorek.
Pokud při zavádění společného faktoru v závorkách vynásobíme tento faktor každým členem v závorce, pak při přesunu tohoto faktoru zpět mimo závorku musíme vydělit každý člen v závorce tímto faktorem.
Ve výrazu 3×4 + 3×5, o kterém byla řeč výše, se tak stalo. Každý termín byl rozdělen společným faktorem 3. Součin 3 × 4 a 3 × 5 jsou členy, protože když je spočítáme, dostaneme součet 12 + 15
Nyní můžeme podrobně vidět, jak je obecný faktor vyjmut ze závorek:
Je vidět, že společný faktor 3 je nejprve vyjmut ze závorek, poté je v závorkách každý člen vydělen tímto společným faktorem.
Dělení každého členu společným faktorem lze provést nejen dělením čitatele jmenovatelem, jak je uvedeno výše, ale také snížením těchto zlomků. V obou případech dostanete stejný výsledek:
Podívali jsme se na nejjednodušší příklad vyjmutí společného faktoru ze závorek, abychom pochopili základní princip.
Ne vše je ale tak jednoduché, jak se na první pohled zdá. Po vynásobení čísla každým výrazem v závorce se výsledky sečtou a společný faktor se ztratí ze zobrazení.
Vraťme se k našemu příkladu 3 (4 + 5). Použijme distributivní zákon násobení, to znamená, že vynásobíme číslo 3 každým členem v závorce a sečteme výsledky:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
Po výpočtu konstrukce 3 × 4 + 3 × 5 dostaneme nový výraz 12 + 15. Vidíme, že společný faktor 3 zmizel z dohledu. Nyní ve výsledném výrazu 12 + 15 zkusme vyjmout společný faktor zpět ze závorek, ale abychom tento společný faktor odstranili, musíme jej nejprve najít.
Obvykle se při řešení úloh setkáváme právě s takovými výrazy, ve kterých je třeba nejprve najít společný činitel, než jej lze vyjmout.
Aby bylo možné vyjmout společný faktor ze závorek ve výrazu 12 + 15, musíte najít největší společný faktor (GCD) členů 12 a 15. Nalezený GCD bude společným faktorem.
Pojďme tedy najít GCD pro čísla 12 a 15. Připomeňme si, že k nalezení GCD je třeba rozložit původní čísla na prvočinitele, poté vypsat první rozklad a odstranit z něj faktory, které nejsou zahrnuty v rozkladu druhého čísla. Zbývající faktory je třeba vynásobit, aby se získal požadovaný gcd. Pokud máte v tomto bodě potíže, určitě opakujte.
GCD pro 12 a 15 je číslo 3. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 12 a 15. Musí být vyjmuto ze závorek. K tomu nejprve zapíšeme samotný faktor 3 a vedle něj do závorky napíšeme nový výraz, ve kterém je každý člen výrazu 12 + 15 vydělen společným faktorem 3
No, další výpočet není těžký. Výraz v závorkách lze snadno vypočítat - dvanáct děleno třemi je čtyři, A patnáct děleno třemi je pět:
Když tedy vyjmeme společný faktor ze závorek ve výrazu 12 + 15, dostaneme výraz 3(4 + 5). Podrobné řešení je následující:
Krátké řešení přeskočí zápis ukazující, jak je každý výraz rozdělen společným faktorem:
Příklad 2 15 + 20
Pojďme najít gcd pro termíny 15 a 20
GCD pro 15 a 20 je číslo 5. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 15 a 20. Vyjmeme ho ze závorek:
Dostali jsme výraz 5 (3 + 4). Výsledný výraz lze zkontrolovat. Chcete-li to provést, stačí vynásobit pět každým výrazem v závorkách. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 15 + 20
Příklad 3 Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu 18+24+36
Pojďme najít gcd pro výrazy 18, 24 a 36. Chcete-li najít , musíte tato čísla zohlednit v prvočinitelích a pak najít součin společných faktorů:
GCD pro 18, 24 a 36 je číslo 6. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 18, 24 a 36. Vyjmeme to z hranatých závorek:
Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte číslo 6 každým výrazem v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 18+24+36
Příklad 4. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu 13 + 5
Termíny 13 a 5 jsou prvočísla. Rozkládají se pouze na jednoho a sebe:
To znamená, že termíny 13 a 5 nemají žádné společné faktory kromě jednoho. V souladu s tím nemá smysl tuto jednotku vyjímat ze závorek, protože nic nedává. Pojďme si ukázat toto:
Příklad 5. Vyjměte společný faktor ze závorek ve výrazu 195+156+260
Najdeme gcd pro výrazy 195, 156 a 260
GCD pro 195, 156 a 260 je číslo 13. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 195, 156 a 260. Vyjmeme ho ze závorek:
Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte 13 každým výrazem v závorkách. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 195+156+260
Výraz, ve kterém potřebujete vyjmout společný faktor ze závorek, může být nejen součet čísel, ale také rozdíl. Vyjmeme například společný činitel ze závorek ve výrazu 16 − 12 − 4. Největší společný činitel pro čísla 16, 12 a 4 je číslo 4. Vyjmeme toto číslo ze závorek:
Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte čtyři každým číslem v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 16 − 12 − 4
Příklad 6. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu 72+96−120
Najdeme GCD pro čísla 72, 96 a 120
GCD pro 72, 96 a 120 je číslo 24. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 195, 156 a 260. Vyjmeme ho ze závorek:
Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte 24 každým číslem v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 72+96−120
Celkový faktor vyjmutý ze závorek může být také záporný. Například vyjmeme společný činitel ze závorek ve výrazu −6−3. Existují dva způsoby, jak v tomto výrazu vyjmout společný faktor ze závorek. Podívejme se na každou z nich.
Metoda 1.
Nahradíme odčítání sčítáním:
−6 + (−3)
Nyní najdeme společný faktor. Společným činitelem tohoto výrazu bude největší společný dělitel členů −6 a −3.
Modul prvního členu je 6. A modul druhého členu je 3. GCD(6 a 3) se rovná 3. Toto číslo je společným faktorem pro členy 6 a 3. Vyjmeme ho ze závorek:
Takto získaný výraz nebyl příliš přesný. Mnoho závorek a záporných čísel výraz neusnadňuje. Proto můžete použít druhý způsob, jehož podstatou je vynechat ze závorek ne 3, ale −3.
Metoda 2.
Stejně jako minule nahrazujeme odčítání sčítáním.
−6 + (−3)
Tentokrát vyjmeme ze závorek ne 3, ale −3
Získaný výraz tentokrát vypadá mnohem jednodušeji. Napišme řešení stručněji, aby bylo ještě jednodušší:
Povolení vyjmutí záporného faktoru ze závorek je způsobeno skutečností, že rozšíření čísel −6 a (−3) lze zapsat dvěma způsoby: nejprve udělejte násobitel záporný a násobitel kladný:
−2 × 3 = −6
−1 × 3 = −3
ve druhém případě může být multiplikand kladný a multiplikátor záporný:
2 × (−3) = −6
1 × (−3) = −3
To znamená, že můžeme volně vyřadit faktor, který chceme.
Příklad 8. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu −20−16−2
Odčítání nahradíme sčítáním
−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)
Největší společný faktor pro členy −20, −16 a −2 je číslo 2. Toto číslo je společným činitelem pro tyto členy. Podívejme se, jak to vypadá:
−10 × 2 = −20
−8 × 2 = −16
−1 × 2 = −2
Dané expanze ale mohou být nahrazeny shodně stejnými expanzemi. Rozdíl bude v tom, že společný faktor nebude 2, ale −2
10 × (-2) = -20
8 × (−2) = −16
1 × (−2) = −2
Proto pro usnadnění můžeme ze závorek vyřadit ne 2, ale −2
Pojďme si výše uvedené řešení stručně zapsat:
A pokud vyjmeme 2 ze závorek, dostaneme ne zcela přesný výraz:
Příklad 9. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu −30−36−42
Nahradíme odčítání sčítáním:
−30 + (−36) + (−42)
Největší společný dělitel členů −30, −36 a −42 je číslo 6. Toto číslo je společným činitelem těchto členů. Ale ze závorek vyjmeme ne 6, ale −6, protože čísla −30, −36 a −42 lze znázornit takto:
5 × (-6) = -30
6 × (−6) = −36
7 × (−6) = −42
Vyjmutí mínusu ze závorek
Při řešení problémů může být někdy užitečné vyjmout znaménko mínus ze závorek. To vám umožní zjednodušit výraz a dát jej do pořádku.
Zvažte následující příklad. Vyjměte mínus ze závorek ve výrazu −15+(−5)+(−3)
Pro přehlednost uzavřeme tento výraz do hranatých závorek, protože mluvíme o odstranění mínus z těchto závorek
(−15 + (−5) + (−3))
Chcete-li tedy vyjmout mínus ze závorek, musíte před závorku napsat mínus a do závorek napsat všechny výrazy, ale s opačnými znaménky
Vyjmuli jsme mínus ze závorek ve výrazu −15+(−5)+(−3) a dostali jsme −(15+5+3). Oba výrazy se rovnají stejné hodnotě −23
−15 + (−5) + (−3) = −23
−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23
Proto můžeme dát rovnítko mezi výrazy −15+(−5)+(−3) a −(15+5+3), protože mají stejný význam:
−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)
Ve skutečnosti, když je mínus vyjmuto ze závorek, distributivní zákon násobení opět funguje:
a(b+c) = ab + ac
Pokud prohodíme levou a pravou stranu této identity, ukáže se, že faktor A v závorkách
ab + ac = a(b+c)
Totéž se stane, když vyjmeme společný faktor v jiných výrazech a když vyjmeme mínus ze závorek.
Je zřejmé, že při vyjímání mínus ze závorek se nevyjímá mínus, ale mínus jedna. Již jsme řekli, že je zvykem nezaznamenat koeficient 1.
Proto se před závorkami tvoří mínus a znaménka členů, které byly v závorkách, mění své znaménko na opačné, protože každý člen je dělen mínus jedničkou.
Vraťme se k předchozímu příkladu a podívejme se podrobně na to, jak bylo vlastně vyjmuto mínus ze závorek
Příklad 2 Umístěte mínus ze závorek do výrazu −3 + 5 + 11
Dáme mínus a vedle něj do závorky napíšeme výraz −3 + 5 + 11 s opačným znaménkem pro každý člen:
−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)
Stejně jako v předchozím příkladu zde není ze závorek vyjmuto mínus, ale mínus jedna. Podrobné řešení je následující:
Nejprve jsme dostali výraz −1(3 + (−5) + (−11)), ale otevřeli jsme v něm vnitřní závorky a dostali výraz −(3 − 5 − 11) . Rozšiřování závorek je tématem příští lekce, takže pokud je pro vás tento příklad obtížný, můžete jej prozatím přeskočit.
Vyjmutí společného faktoru ze závorek v doslovném vyjádření
Vyjmutí společného faktoru ze závorek v doslovném vyjádření je mnohem zajímavější.
Nejprve se podívejme na jednoduchý příklad. Nechť je výraz 3a + 2a. Vyjmeme společný faktor ze závorek.
V tomto případě je celkový multiplikátor viditelný pouhým okem - to je multiplikátor A. Vyjmeme to ze závorek. K tomu si zapíšeme samotný násobitel A a vedle v závorce napíšeme výraz 3a + 2a, ale bez násobiče A protože je vyjmuto ze závorek:
Stejně jako v případě číselného vyjádření je zde každý člen vydělen vyjmutým společným činitelem. Vypadá to takto:
Proměnné v obou zlomcích A byly sníženy o A. Místo toho mají čitatel a jmenovatel jednotky. Jednotky byly získány díky tomu, že místo proměnné A může být libovolné číslo. Tato proměnná se nacházela jak v čitateli, tak ve jmenovateli. A pokud mají čitatel a jmenovatel stejná čísla, pak pro ně bude největším společným dělitelem toto číslo samotné.
Například pokud místo proměnné A nahradit číslo 4
, pak bude mít konstrukce následující podobu: 
. Potom lze čtyřky v obou zlomcích zmenšit o 4:
Dopadne to stejně jako předtím, kdy místo čtyřek byla proměnná A .
Neměli byste se proto znepokojovat snížením proměnných. Proměnná je plnohodnotný multiplikátor, i když je vyjádřen písmenem. Takový násobitel lze vyjmout z hranatých závorek, snížit jej a další akce, které jsou pro běžná čísla přípustné.
Doslovný výraz obsahuje nejen čísla, ale také písmena (proměnné). Proto je společným faktorem, který je vyjmut ze závorek, často faktor písmen, který se skládá z čísla a písmena (koeficient a proměnná). Například následující výrazy jsou doslovné faktory:
3a, 6b, 7ab, a, b, c
Před vyjmutím takového součinitele ze závorek se musíte rozhodnout, které číslo bude v numerické části společného činitele a která proměnná bude v písmenné části společného činitele. Jinými slovy, musíte zjistit, jaký koeficient bude mít společný faktor a jaká proměnná do něj bude zahrnuta.
Zvažte výraz 10 a+ 15A. Zkusme vyjmout společný faktor ze závorek. Nejprve se rozhodneme, z čeho bude společný faktor sestávat, to znamená, že zjistíme jeho koeficient a jaká proměnná do něj bude zahrnuta.
Koeficient společného násobitele musí být největším společným dělitelem koeficientů doslovného výrazu 10 a+ 15A. 10 a 15 a jejich největším společným dělitelem je číslo 5. To znamená, že číslo 5 bude koeficient společného faktoru vyjmutý ze závorek.
Nyní se rozhodneme, která proměnná bude zahrnuta do společného faktoru. Chcete-li to provést, musíte se podívat na výraz 10 a+ 15A a najděte faktor písmen, který je zahrnut ve všech termínech. V tomto případě je to faktor A. Tento faktor je zahrnut v každém termínu výrazu 10 a+ 15A. Takže proměnná A budou zahrnuty do doslovné části společného faktoru vyjmuté ze závorek:
Teď už zbývá jen vypočítat společný faktor 5a mimo závorky. Za tímto účelem rozdělíme každý výraz výrazu 10a + 15a na 5a. Pro názornost budeme koeficienty a čísla oddělovat znaménkem násobení (×)
Zkontrolujeme výsledný výraz. Abychom to udělali, pojďme se množit 5a pro každý termín v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, dostaneme výraz 10a + 15a
Faktor písmen nelze vždy vyjmout ze závorek. Někdy se společný faktor skládá pouze z čísla, protože ve výrazu není nic vhodného pro písmennou část.
Vezměme například společný faktor ze závorek ve výrazu 2a-2b. Zde bude společným faktorem pouze číslo 2 a mezi písmenovými faktory nejsou ve výrazu žádné společné faktory. V tomto případě se tedy vyjme pouze násobitel 2
Příklad 2 Extrahujte společný faktor z výrazu 3x + 9 let + 12
Koeficienty tohoto výrazu jsou čísla 3, 9 A 12, jejich gcd se rovná 3 3 . A mezi písmenovými faktory (proměnnými) není společný faktor. Proto je konečným společným faktorem 3
Příklad 3 Společný faktor umístěte mimo hranaté závorky ve výrazu 8x + 6 let + 4z + 10 + 2
Koeficienty tohoto výrazu jsou čísla 8, 6, 4, 10 A 2, jejich gcd se rovná 2 . To znamená, že koeficient společného faktoru vyjmutý ze závorek bude číslo 2 . A mezi písmenovými faktory není žádný společný faktor. Proto je konečným společným faktorem 2
Příklad 4. Odstraňte společný faktor 6ab + 18ab + 3abc
Koeficienty tohoto výrazu jsou čísla 6, 18 a 3, jejich gcd se rovná 3 . To znamená, že koeficient společného faktoru vyjmutý ze závorek bude číslo 3 . Doslovná část společného faktoru bude zahrnovat proměnné A A b, protože ve výrazu 6ab + 18ab + 3abc tyto dvě proměnné jsou zahrnuty v každém termínu. Proto je konečným společným faktorem 3ab
Při detailním řešení se výraz stává těžkopádným až nesrozumitelným. V tomto příkladu je to více než patrné. Je to dáno tím, že rušíme faktory v čitateli a jmenovateli. Nejlepší je si to udělat v hlavě a výsledky dělení si rovnou zapsat. Potom se výraz stane krátkým a úhledným:
Stejně jako v případě číselného výrazu může být v doslovném výrazu společný faktor záporný.
Vyjmeme například obecné z hranatých závorek ve výrazu −3a − 2a.
Pro usnadnění nahrazujeme odčítání sčítáním
−3a − 2a = −3a + (−2a )
Společným faktorem v tomto výrazu je faktor A. Ale za závorky lze vzít nejen A, ale také −a. Vyjmeme to z hranatých závorek:
Ukázalo se, že je to úhledný výraz −a (3+2). Nemělo by se zapomínat, že násobitel −a vlastně vypadal −1a a po redukci v obou zlomcích proměnných A, mínus jedna zůstává ve jmenovatelích. Proto nakonec dostaneme kladné odpovědi v závorkách
Příklad 6. Společný faktor umístěte mimo hranaté závorky ve výrazu −6x − 6let
Odčítání nahradíme sčítáním
−6x−6y = −6x+(−6y)
Vyjmeme to ze závorek −6
Stručně zapišme řešení:
−6x − 6y = −6(x + y)
Příklad 7. Společný faktor umístěte mimo hranaté závorky ve výrazu −2a − 4b − 6c
Odčítání nahradíme sčítáním
−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)
Vyjmeme to ze závorek −2
Líbila se vám lekce?
Připojte se k naší nové skupině VKontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce
\(5x+xy\) lze reprezentovat jako \(x(5+y)\). Jedná se skutečně o totožné výrazy, můžeme si to ověřit, když otevřeme závorky: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Jak vidíte, výsledkem je původní výraz. To znamená, že \(5x+xy\) se skutečně rovná \(x(5+y)\). Mimochodem, toto je spolehlivý způsob, jak zkontrolovat správnost společných faktorů - otevřete výslednou závorku a porovnejte výsledek s původním výrazem.
Hlavní pravidlo pro bracketing:
Například ve výrazu \(3ab+5bc-abc\) lze ze závorky vyjmout pouze \(b\), protože je jediné, které je přítomno ve všech třech termínech. Proces vyjímání společných faktorů z hranatých závorek je znázorněn na obrázku níže:
Pravidla závorek
V matematice je zvykem vyjmout všechny společné faktory najednou.
Příklad:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Vezměte prosím na vědomí, že zde bychom mohli expandovat takto: \(3(xy-xz)\) nebo takto: \(x(3y-3z)\). Jednalo by se však o neúplné rozklady. C i X musí být vyjmuty.
Někdy nejsou společní členové hned vidět.
Příklad:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
V tomto případě byl společný termín (pět) skrytý. Po rozšíření \(10\) jako \(2\) násobeno \(5\) a \(15\) jako \(3\) násobeno \(5\) - jsme „vytáhli pětku do světlo boží“, načež jej mohli snadno vyjmout z držáku.
Pokud je monomiál zcela odstraněn, jeden z něj zůstane.
Příklad: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
\(x\) vyjmeme z hranatých závorek a třetí monočlen se skládá pouze z x. Proč z toho člověk zůstává? Protože pokud se kterýkoli výraz vynásobí jednou, nezmění se. To znamená, že stejný \(x\) může být reprezentován jako \(1\cdot x\). Pak máme následující řetězec transformací:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Navíc je to jediný správný způsob, jak to extrahovat, protože pokud jednu neopustíme, tak se při otevírání závorek nevrátíme k původnímu výrazu. Opravdu, pokud provedeme extrakci takto \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), pak po rozbalení dostaneme \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Třetí člen chybí. To znamená, že takové tvrzení je nesprávné.
Mimo závorku můžete umístit znaménko mínus a znaménka výrazů v závorce jsou obrácená.
Příklad:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
V podstatě zde dáváme „mínusovou jedničku“, kterou lze „navolit“ před libovolný monomiál, i když před ním žádné mínus nebylo. Použijeme zde skutečnost, že jeden může být zapsán jako \((-1) \cdot (-1)\). Zde je stejný příklad, který je podrobně popsán:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Společným faktorem může být i závorka.
Příklad:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Nejčastěji se s touto situací (odstraňováním závorek ze závorek) setkáváme při faktoringu metodou seskupování resp
Hodina matematiky v 7. třídě
| 1. | Celé jméno (celé jméno) | Trofimenko Naděžda Pavlovna |
| 2. | Místo výkonu práce | Městská vzdělávací instituce "Miloslavskaya school" |
| 3. | Pracovní pozice | Učitel matematiky |
| 4. | Položka | |
| 5. | Třída | |
| 6. | Téma a číslo lekce v tématu | Vyjmutí společného faktoru ze závorek (1 lekce na téma) |
| 7. | Základní tutoriál | Mňam. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin. Učebnice "Algebra 7th grade" pro všeobecně vzdělávací organizace. M. Prosveshchenie. 2016. |
8. Cíle lekce
pro učitele:
vzdělávací
pořádáme vzdělávací akce:
Zvládnutím algoritmu pro vyjmutí společného faktoru ze závorek a pochopením logiky jeho konstrukce;
Rozvinout schopnost aplikovat algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek
rozvíjející se
vytvářet podmínky pro rozvoj regulačních dovedností:
Samostatně určovat cíle vzdělávací činnosti;
Plánujte způsoby, jak dosáhnout cílů;
Porovnejte své akce s plánovanými výsledky;
Monitorovat a vyhodnocovat vzdělávací aktivity na základě výsledků;
Organizovat vzdělávací spolupráci a společné aktivity s učitelem a vrstevníky.
- vzdělávací
Vytvářet podmínky pro utváření odpovědného postoje k učení;
Vytvářet podmínky pro rozvoj samostatnosti žáků při organizování a provádění jejich vzdělávacích aktivit.
Vytvořit podmínky pro vlasteneckou výchovu
Vytvořit podmínky pro environmentální výchovu
Pro studenty:
Zvládněte algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek a pochopení logiky jeho konstrukce;
Rozvinout schopnost aplikovat algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek
9. Použité UUD: regulační (stanovení cílů, plánování činnosti, kontrola a hodnocení)
10. Typ lekce: učení nového materiálu
11.Formy studentských prací: čelní, parní, individuální
12. NezbytnéTechnické vybavení: počítač, projektor, logo lekce, učebnice matematiky, elektronická prezentace v Power Pointu, letáky
Struktura a průběh lekce
| Kroky lekce | Učitelské aktivity | Studentské aktivity | Vzdělávací | ||
| Organizační | Ahoj hoši! Velmi rád to vidím vy! Naše motto lekce: Slyším a zapomínám. Dejme naší lekci neobvyklé zbarvení (emblém zeleného stromu a červené srdce), znak na tabuli. Na konci lekce odhalíme tajemství tohoto znaku | Zkontrolují pracoviště, pozdraví učitele a dostanou se do pracovního rytmu hodiny. | |||
| Aktualizace znalostí a motivace | Dnes se ve třídě naučíte novou látku. Nejprve však pracujme verbálně. 1. Vynásobte monomily: 2a 2 * 3av; 2av*(-a 4); 6x 2 *(-2x); -3s*5x; -3x*(-xy 2);-4a 2 b*(-0,2av 2) Pokud je odpověď správná, otevřete první písmeno 2) Které monomily by měly být nahrazeny *, abyste získali správnou rovnost: x 3* = x 6; - a6 = a4*; *y7 = y8; -2a3* = 8a5; 5xy 4 * = 25x 2 y 6. Pokud je odpověď správná, otevřete druhé písmeno 3) Zaveďte jednočlen 12x 3 na 4 jako součin dvou faktorů, z nichž jeden je stejný 2x 3 ; 3u 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 na ; 6x 2 na 2 . Pokud je odpověď správná, objeví se třetí písmeno 4) Monomial prezentujte různými způsoby 6x 2 na jako produkt dvou faktorů. Otevřete 4. dopis 5) Žák vynásobil jednočlen mnohočlenem, načež byl jednočlen vymazán. Obnovte to …*(x – y) = 3ax – 3ay …*(-x + y 2 – 1) = xy 2 – y 4 + y …*(a +b – 1) = 2ah +2in – 2x …*(a – b) = a 2 c – a 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2. Otevřete 5. písmeno 6.Vypočítejte 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Otevřete 6. dopis. Písmena tvořila jméno německého matematika. | Úkol proveďte ústně Okomentujte řešení pomocí pravidel Otevřete písmena na tabuli Student (obdržel úkol předem) Historický odkaz : Michel Stiefel (1487-1567), německý matematik a potulný kazatel; autor knihy „Kompletní aritmetika“, zavedl pojem „exponent“ a zabýval se také vlastnostmi polynomů a významně přispěl k rozvoji algebry (foto) | |||
| 3. Stanovení cílů a motivace | Poskytování motivace dětem k učení a jejich přijetí cílů lekce. | Na tabuli: Najít hodnota výrazu A 2 – 3av na a = 106,45; in = 2,15 . Jak to udělat? a) Můžete nahradit číselné hodnoty A A PROTI a najít význam výrazu, ale je to těžké. c) Je možné to udělat jinak? Jak? Na tabuli zapíšeme téma lekce: „Vysazení společného činitele ze závorek“. Kluci, pište pozorně! Pamatujte, že k výrobě tuny papíru je potřeba pokácet asi 17 vzrostlých stromů. Zkusme si stanovit cíle lekce podle následujícího schématu: S jakými pojmy se seznámíte? Jaké dovednosti a schopnosti budeme ovládat? | Nabídnout vlastní řešení | ||
| 4. Asimilace nových poznatků a metody asimilace (první seznámení s materiálem) | Zajištění dětského vnímání, porozumění a primárního zapamatování probíraného tématu | Otevřete učebnici str. 120-121, přečtěte si a odpovězte na otázky na str. 121. Zvýrazněte body algoritmu Algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek Najděte společný faktor koeficientů polynomů Vytáhněte ji z držáku 3.Učitel: Uvedu příklad vyjmutí násobilky ze závorek v ruštině. Ve výrazu „Vezmi si knihu, vezmi si pero, vezmi si poznámkový blok“ funkci společného činitele plní sloveso „vzít“ a kniha, zápisník a pero jsou doplňky. 4 Pravidlo pro násobení monočlenu polynomem jsem napsal ve formě diagramu. Zkuste nakreslit schematické pravidlo pro odečtení společného faktoru | Přečtěte si materiál Odpověz na otázku Najděte list pomocí algoritmu
Oh, teď zkus: Nakreslete na tabuli obrácený diagram | ||
| 5. Relaxace | Obsahuje karikaturu "Letní úkol" Ze zimního počasí se ocitáme v teplém létě. Fragment je ale poučný, zkuste se chytit hlavní myšlenky | Sledují fragment karikatury a vyvozují závěry o kráse své rodné země | Kreslený fragment "Letní úkol" | ||
| 6.Primární konsolidace | Stanovení správnosti a povědomí o studiu tématu. Identifikace mezer v počátečním porozumění studovanému materiálu, náprava zjištěných mezer, zajištění toho, aby se znalosti a metody jednání, které potřebují k samostatné práci na novém materiálu, upevnily v paměti dětí. | Zepředu k desce: № 318, 319, 320,321,324,325,328 Střídejte se, jak chcete | Řešte na tabuli s komentáři | ||
| 6. Organizace primární kontroly | Identifikace kvality a úrovně asimilace znalostí a metod jednání, jakož i identifikace nedostatků ve znalostech a metodách jednání, stanovení příčin zjištěných nedostatků | Vyřešte samostatně na základě textu na kusech papíru a zkontrolujte odpovědi na tabuli: NEZÁVISLÁ PRÁCE (rozlišené) 1 možnost Dokončete rozklad polynomu: 5akh – 30ау = 5а(…………..) x 4 – 5 x 3 – x 2 = x 2 (…………..) Faktor polynomu - 5ав + 15а 2 в s vyjmutím faktoru ze závorek: a) 5а; b) -5a. Zvažte to: 5x + 5y = 7av + 14ac = 20a – 4b= 5mn – 5= ah – ay= 3x 2 – 6x= 2a – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 volba Dokončete zadání: 18av +16v= 2v(…………) 4a 2 s – 8ac= 4ac(………..) Rozložte polynom -15a 2 na + 5ab 4 dvěma způsoby: a) vyjmutí faktoru 5ab ze závorek; b) vyjmutí faktoru -5av ze závorek. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 x = 12av – 9v= x 3 -4x 2 +6x= 6a 4 – 4a 2 = 4a 4 -8a 3 +12a 2 = 24x 2 y -12xy= 9v 2 -6v 4 +3v= 4. Zjistěte hodnotu výrazu rozkladem: xy2+y3 s x=97, y=3. Možnost 3 Vyjměte společný součinitel ze závorek a zkontrolujte vynásobením monočlenu polynomem: a) 12xy+ 18x= b) 36ab 2 – 12a 2 c= 2. Dokončete nahrávání: 18a 3 in 2 +36av = 18av(…………) 18a 3 in 2 +36av = -18av(…………) 3. Vyjměte společný faktor ze závorek: 12a 2 +16a= -11x 2 y 2 +22xy= 2a 4 -6a 2 = -12a 3 na 3 +6av= 30a 4 b- 6av 4 = x 8 -8x 4 + x 2 = 4. Nahraďte M polynomem nebo monomiem tak, aby výsledná rovnost byla identita: 12a 2 b-8av 2 +6av=M*(6a-4b+3) 15x 2 y-10x3y2+25x 4y 3 = 5x 2 y*M 5. Najděte význam výrazu: a) 2,76a-ab při a=1,25 a b=0,76; b) 2xy + 2y2 při x=0,27 a b=0,73. | Udělají svou práci, po dokončení dostanou klíče a zkontrolují, dají + nebo mínus, ohodnotí svou práci podle kritérií na tabuli: (odpovědi na tabuli) 10–12 bodů – „5“ 8–9 bodů – „4“ 6–7 bodů – „3“ Méně než 6 – musíte pracovat více. | Rozlišené listy úkolů | |
| 7. Shrnutí lekce. | Poskytnout kvalitativní hodnocení práce třídy a jednotlivých studentů | Označte aktivně pracující studenty a shrňte výsledky samostatné práce: Kdo má 5,4,3, zvedněte ruce. | Analyzujte jejich práci | ||
| 8. Informace o domácích úkolech | Zajistit, aby děti rozuměly účelu, obsahu a metodám plnění domácích úkolů. | Odstavec č. 19 Děláme to podle vzorových zadání v práci ve třídě | Zapisujte si úkoly do deníku | ||
| 9. Reflexe | Učitel: Byla to lekce – hledání. Hledali jsme mezi sebou společnou řeč, učili se komunikovat a také jsme odhalili jednu z metod vysvětlování a upevňování tématu. Vraťme se k cílům lekce a analyzujme, jak jsme jich dosáhli Ach, o čem jiném jsme mluvili, kromě vyjmutí společného faktoru ze závorek? Vraťme se k logu lekce. | Přečtěte si cíle a analyzujte jejich realizaci O spojení mezi matematikou a ruským jazykem, O kráse naší rodné země, o ekologii |
V rámci studia transformací identity je velmi důležité téma vyjmutí společného faktoru ze závorek. V tomto článku si vysvětlíme, co přesně taková transformace je, odvodíme základní pravidlo a rozebereme typické příklady problémů.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Koncept odebrání faktoru ze závorek
Chcete-li tuto transformaci úspěšně aplikovat, musíte vědět, pro jaké výrazy se používá a jaký výsledek by měl být nakonec získán. Pojďme si tyto body ujasnit.
Společný faktor můžete vyjmout ze závorek ve výrazech, které představují součty, ve kterých je každý výraz součinem, a v každém součinu je jeden součinitel, který je společný (stejný) pro všechny. Tomu se říká společný faktor. Právě to vyjmeme ze závorek. Takže pokud máme práce 5 3 A 5 4, pak můžeme vyjmout společný faktor 5 ze závorek.
V čem tato transformace spočívá? Původní výraz během ní představujeme jako součin společného činitele a výraz v závorce obsahující součet všech původních členů kromě společného činitele.
Vezměme si příklad uvedený výše. Přidejme společný faktor 5 až 5 3 A 5 4 a dostaneme 5 (3 + 4) . Konečný výraz je součin společného faktoru 5 výrazem v závorkách, což je součet původních členů bez 5.
Tato transformace je založena na distributivní vlastnosti násobení, kterou jsme již dříve studovali. V doslovné formě to může být zapsáno jako a (b + c) = a b + a c. Změnou pravé strany za levou uvidíme schéma pro vyjmutí společného faktoru ze závorek.
Pravidlo pro vyjmutí společného faktoru ze závorek
Pomocí všeho výše uvedeného odvodíme základní pravidlo pro takovou transformaci:
Definice 1
Chcete-li odstranit společný faktor ze závorek, musíte napsat původní výraz jako součin společného faktoru a závorek, které obsahují původní součet bez společného faktoru.
Příklad 1
Vezměme si jednoduchý příklad vykreslování. Máme číselný výraz 3 7 + 3 2 − 3 5, což je součet tří členů 3 · 7, 3 · 2 a společného faktoru 3. Vezmeme-li jako základ pravidlo, které jsme odvodili, zapíšeme produkt jako 3 (7 + 2 − 5). To je výsledek naší transformace. Celé řešení vypadá takto: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).
Faktor ze závorek můžeme vyřadit nejen v číselných, ale i v doslovných výrazech. Například v 3 x − 7 x + 2 můžete vyjmout proměnnou x a získat 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, ve výrazu (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3– společný faktor (x2+y) a dostat se na konec (x 2 + y) · (x · y − x 3).
Ne vždy je možné okamžitě určit, který faktor je společný. Někdy musí být výraz nejprve transformován nahrazením čísel a výrazů shodně stejnými produkty.
Příklad 2
Tedy například ve výrazu 6 x + 4 roky je možné odvodit společný faktor 2, který není explicitně zapsán. Abychom to našli, musíme transformovat původní výraz reprezentující šest jako 2 · 3 a čtyři jako 2 · 2. To znamená 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Nebo ve výrazu x 3 + x 2 + 3 x můžeme ze závorek vyjmout společný faktor x, který se ukáže po výměně x 3 na x · x 2. Tato transformace je možná díky základním vlastnostem stupně. V důsledku toho dostaneme výraz x (x 2 + x + 3).
Dalším případem, který by měl být projednán samostatně, je odstranění mínus ze závorek. Pak vyjmeme ne samotné znaménko, ale mínus jedna. Například tímto způsobem transformujme výraz − 5 − 12 x + 4 x y. Přepišme výraz jako (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, takže celkový multiplikátor je lépe viditelný. Vyjmeme to ze závorek a dostaneme − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Tento příklad ukazuje, že v závorkách je získána stejná částka, ale s opačnými znaménky.
Závěrem poznamenáváme, že transformace umístěním společného činitele mimo závorky se v praxi velmi často používá například pro výpočet hodnoty racionálních výrazů. Tato metoda je také užitečná, když potřebujete reprezentovat výraz jako součin, například pro faktorování polynomu do jednotlivých faktorů.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Lekce algebry v 7. třídě.
Téma: „Vyloučení společného faktoru ze závorek.“
Učebnice Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. atd.
Cíle lekce:
Vzdělávací –
identifikovat úroveň zvládnutí komplexu znalostí a dovedností žáků v používání dovedností násobení a dělení;
rozvíjet schopnost aplikovat faktorizaci polynomu umístěním společného faktoru mimo hranaté závorky;
při řešení rovnic uplatnit odstranění společného činitele ze závorek.
Vývojový –
podporovat rozvoj pozorování, schopnosti analyzovat, porovnávat a vyvozovat závěry;
rozvíjet schopnosti sebeovládání při plnění úkolů.
vzdělávací -
podpora odpovědnosti, aktivity, samostatnosti, objektivního sebevědomí.
Typ lekce: kombinovaný.
Klíčové výsledky učení:
být schopen vyjmout společný faktor ze závorek;
umět tuto metodu aplikovat při řešení úloh.
Hýbat selekce.
1 modul (30 min).
1. Organizace času.
Pozdravy;
příprava studentů na práci.
2. Kontrola domácích úkolů.
Kontrola dostupnosti (ve službě), diskuse o problémech, které se objevily.
3 . Aktualizace základních znalostí.
N Najděte GCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).
Co je GCD?
Jak se provádí rozdělení pravomocí se stejnými základy?
Jak se provádí násobení mocnin se stejnými základy?
Pro tyto stupně (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Pojmenujte stupeň s nejmenším exponentem, stejné základy, stejné exponenty
Zopakujme si distributivní zákon násobení. Napište to formou dopisu
a (b + c) = ab + ac
* - znak násobení
Dokončete ústní úkoly týkající se použití distribuční vlastnosti. (Připravte se na tabuli).
1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5
2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)
3) a*(4 + x) 6) -2*(c – a)
Úkoly se píší na uzavřenou tabuli, chlapi řeší a zapisují výsledek na tabuli. Problémy s násobením monočlenu polynomem.
Pro začátek vám nabízím příklad násobení monomiu polynomem:
2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 roky – 6x Neprat!
Napište pravidlo pro násobení monočlenu polynomem ve formě diagramu.
Na tabuli se objeví poznámka:
Tuto vlastnost mohu zapsat jako:
V této podobě jsme již použili zápis pro jednoduchý způsob vyhodnocení výrazů.
a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500
Zbytek je ústní, zkontrolujte odpovědi:
e) 55*682 – 45*682 = 6820
g) 7300*3 + 730*70 = 73000
h) 500*38 – 50*80 = 15000
Jaký zákon vám pomohl najít jednoduchý způsob výpočtu? (Rozdělení)
Distributivní zákon skutečně pomáhá zjednodušit výrazy.
4 . Stanovení cíle a tématu lekce. Slovní počítání. Hádejte téma lekce.
Pracovat v párech.
Karty pro páry.
Ukazuje se, že faktorizace výrazu je inverzní operací násobení jednočlenu po členu polynomem.
Podívejme se na stejný příklad, který student řešil, ale v opačném pořadí. Faktoring znamená vyjmutí společného faktoru ze závorek.
2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).
Dnes se v lekci podíváme na koncepty faktorizace polynomu a vyjmutí společného faktoru ze závorek a naučíme se tyto koncepty aplikovat při cvičení.
Algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek
Největší společný dělitel koeficientů.
Stejné písmenné proměnné.
Přidejte nejmenší stupeň k odstraněným proměnným.
Pak se do závorek zapisují zbývající monočleny polynomu.
Největší společný dělitel byl nalezen v nižších stupních, společná proměnná v nejmenší míře je vidět okamžitě. A abyste rychle našli polynom zbývající v závorkách, musíte si procvičit používání čísla 657.
5. Primární učení s mluvením nahlas.
č. 657 (1 sloupec)
Modul 2 (30 min).
1. Výsledek prvních 30 minut.
A) Jaká transformace se nazývá faktorizace polynomu?
B) Jaká vlastnost je založena na vyjmutí společného činitele ze závorek?
Q) Jak je společný faktor vyjmut ze závorek?
2. Primární konsolidace.
Výrazy jsou napsány na tabuli. Najděte chyby v těchto rovnosti, pokud existují, a opravte je.
1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).
2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).
3) 8 x + 12 y = 4 (2 x - 3 roky).
4) a 6 – a 2 = a 2 (a 2 – 1).
5) 4 -2a = – 2 (2 – a).
3. Prvotní kontrola porozumění.
Práce s autotestem. 2 lidé na zadní straně
Vyjměte společný faktor ze závorek:
Slovně zkontrolujte násobením.
4. Příprava studentů na všeobecnou činnost.
Vyjmeme polynomický faktor ze závorek (vysvětlení učitele).
Faktor polynomu.
V tomto výrazu vidíme, že existuje jeden a tentýž faktor, který lze vyjmout ze závorek. Takže dostáváme:
Výrazy a jsou opačné, takže v některých případech můžete použít tuto rovnost 
. Znamení měníme dvakrát! Faktor polynomu 
Jsou zde opačné výrazy a pomocí předchozí identity dostaneme následující záznam: .
A nyní vidíme, že společný faktor lze vyjmout ze závorek.
