Пример решения задачи симплексным методом в Excel. Поиск решения MS EXCEL

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задачи с помощью Excel и симплекс-методом

Задача (распределительная)

Симплекс-метод

Решение задачи с помощью Excel

Задача (распределительная)

Задача 1 (распределительная)

На предприятии 4 вида продукции могут вырабатываться на 3 отдельных взаимозаменяемых машинах.

Известны:

· Производственное задание по выпуску продукции разных видов в планируемом периоде

· Фонд эффективного рабочего времени оборудования в планируемом периоде - ;

· Нормы затрат машинного времени на изготовление единицы продукции - ;

· Прибыль в руб. от реализации единицы продукции, выработанной на том или ином оборудовании - .

Исходная информация отображается в таблице следующей формы.

Таблица 1. Исходные данные

Фонд эф. раб. врем. -	Нормы затрат врем. на ед. продукции - прибыль на ед. продукции -

В задаче требуется найти план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями

при котором задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации продукции.

РЕШЕНИЕ

Разработка экономико - математической модели.

Искомые переменные - характеризуют объём выпуска й продукции м исполнителем.

Тогда матрица искомых переменных

характеризует план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями.

Целевая функция

характеризующая суммарную прибыль от реализации всей продукции, должна быть максимизирована.

Ограничения по наличию и использованию эффективного рабочего времени исполнителей примут вид системы линейных неравенств (2):

Эта система ограничений характеризует условие, что суммарные затраты эффективного рабочего времени каждым исполнителем в планируемом периоде на выпуск всех видов продукции не должны превышать фонда времени. Таким образом, в результате решения задачи каждый исполнитель получит своё задание, исходя из его возможностей. Если в решении задачи какая - то уравновешивающая переменная и примет значение, - она будет характеризовать недоиспользованное эффективное рабочее время у того или иного исполнителя, которое в производственных условиях может быть использовано на выпуск продукции сверх задания.

Следующий блок ограничений должен отражать условие обязательного выполнения общего производственного задания по выпуску продукции по видам и будет представлен системой линейных уравнений (3):

Условие не отрицательности переменных:

Приведём задачу к каноническому виду, для этого в неравенства (2) добавим переменные, а в равенства (3) добавим 4 искусственных базиса. В результате запишем математическую модель задачи в каноническом виде:

Симплекс-метод

Решим данную задачу симплекс - методом, заполнив таблицу. Решение проходит за несколько итераций. Покажем это.

Таблица 1

В самой верхней строке таблицы заносятся коэффициенты целевой функции, вторая строка - это наименование всех неизвестных, входящих в симплексные уравнения. В первый столбец слева записывают коэффициенты, целевой функции, которые соответствуют базисным неизвестным, вошедшим в исходную программу (записанным в столбце). Следующий, третий по счёту, столбец в первой симплексной таблице - заполняется значениями базисных неизвестных. Далее идут столбцы, которые представляют векторы условий. Количество их равно 19. В следующем, первым по счёту после матрицы условий столбце - записываются суммы всех элементов по строкам. В столбце записываются частные от деления элементов итогового столбца В на элементы некоторого столбца, матрицы условий. Так как у нас есть искусственный базис, то в индексной строке будет вести два подсчёта, в первой из них, учитывая переменные, а во втором только искусственный базис. Так как у нас задача максимизации, то необходимо выводить из базиса искусственные базисы. В индексной второй строке выбираем наибольшую положительную оценку. У нас - это первый столбец. Найдём оценочные отношения

и. Из этих отношений выбираем наименьшее, у нас это четвёртая строка, для неё оценочное отношение равно 1300. Выделяем строку. Последний столбец - это коэффициент, на который умножается каждый элемент строки при пересчёте. Он получается делением элементов выделенного столбца на ключевой элемент, который находится на пересечении выделенного столбца и строки, у нас это 1. Пересчёт делаем для всех невыделенных элементов, который осуществляется следующим образом: от пересчитываемого элемента вычитаем элемент ключевой строки, умноженный на пересчитываемый коэффициент строки: и так все элементы. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Последние две строки - индексные строки, где пересчитываются значения целевой функции, а также вся индексная строка, когда все элементы будут положительными или нулевыми - задача будут решена.

Покажем это.

Таблица 2

Выделим столбец с переменной. Находим оценочные отношения, из которых выбираем наименьшее - это 550. Из базиса выводим искусственную переменную, при этом в базис вводим переменную. Когда выводится искусственный базис из базиса, соответствующий столбец убираем.

Таблица 3

Выделим столбец. Наименьшее оценочное отношение 600, находится в шестой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 4

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 28,57, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 5

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 407,7, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 6

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 344,3, находится в седьмой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 7

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 3,273, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 8

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 465, находится в седьмой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 9

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 109, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 10

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 10, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 11

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 147, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 12

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 367, находится в пятой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 13

Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 128, находится в четвёртой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 14

Так как в индексной строке нет отрицательных оценок, получен оптимальный план, при котором объём выпуска продукции представлен матрицей

при этом прибыль максимальная и составляет 17275,31 руб.

Решение задачи с помощью Excel

Математическую модель задачи необходимо перенести в ЭТ EXCEL. Для этого:

· Продумать организацию исходных данных модели (коэффициенты целевой функции и ограничения), снабдив понятными названиями.

· Зарезервировать в отдельных ячейках независимые переменные математической модели.

· В одной из ячеек создать формулу, определяющую целевую функцию.

· Выбрать ячейки и поместить в них формулы, соответствующие левым частям ограничений.

· Войти в пункт меню "Поиск решения", ввести необходимые данные и получить оптимальное решение задачи.

· Проанализировать полученное решение и отчёты.

Рассмотрим последовательность действий по реализации этих этапов решения задачи с помощью EXCEL.

Создадим таблицу для ввода исходных данных.

В созданную форму введём исходные данные.

Коэффициенты целевой функции, выражающие прибыль, от производства единицы продукции каждого вида (единичная прибыль), записаны в ячейки В6:M6.

Коэффициенты ресурсных ограничений, определяющие потребность в каждом из видов ресурсов для производства единицы продукции, размещены в ячейках В9:M15. В ячейках P9:P15 записаны правые части ограничений на ресурсы. Для независимых переменных задачи - искомых объёмов производства продукции зарезервированы ячейки В3:M3.

В ячейку N7 вводим формулу для целевой функции, применив команду вставки функции СУММПРОИЗВ:

А также заполняем ограничения правой части.

После этого можно приступать к поиску решения. Для решения оптимизационных задач в EXCEL используется команда ПОИСК РЕШЕНИЯ меню СЕРВИС.

Эта команда оперирует с тремя основными компонентами построенной в ЭТ оптимизируемой модели:

· Ячейкой, содержащей целевую функцию задачи.

· Изменяемыми ячейками, содержащими независимые переменные.

· Ячейками, содержащими левые части ограничений на имеющиеся ресурсы, а также простые ограничения на независимые переменные.

Рассмотрим последовательность ввода этих компонентов.

Курсор в ячейку N7 и команда СЕРВИС - Поиск решения. На экране появится диалоговое окно.

В окне заполняем поле Установить целевую ячейку, в котором должен стоять адрес $N$7. Далее устанавливаем кнопку на поиск максимального значения. В поле Изменяя ячейки введём адреса искомых переменных $B3:$M3. Затем следует ввести ограничения, путём кнопки Добавить.

Теперь, когда все ограничения для поиска оптимального решения заданы можем нажать кнопку:

После этого получим решение задачи.

Если вычисления оказались успешными, после завершения поиска решения значения будут вставлены в таблицу, а также можно указать Тип отчёта - Результаты, в результате которого можем получить следующий отчёт. рабочий время оборудование прибыль

Следовательно, решение в EXCEL такое же, как и при СИМПЛЕКС методе, а это значит, что рассматриваемая задача, решена, верно.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Определение оптимального объема выпускаемой продукции математическим методом, симплекс-методом и с помощью Excel. Решение задачи по оптимальному распределению инвестиций с использованием прикладной программы Excel. Составление оптимальной схемы перевозок.

курсовая работа , добавлен 10.09.2012

Планирование прибыли при производстве двух видов топлива. Составление оптимального плана выпуска продукции для получения максимальной прибыли от ее реализации. Определение опорного плана перевозок грузов методом минимальной стоимости и с помощью Excel.

контрольная работа , добавлен 12.11.2014

Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.

курсовая работа , добавлен 21.03.2012

Определение с помощью симплекс-метода плана выпуска продукции для получения максимальной прибыли, чтобы сырьё II вида было израсходовано полностью. Решение задач линейного программирования средствами табличного процессора Excel, составление алгоритма.

курсовая работа , добавлен 30.09.2013

Исследование математико-экономической модели компании с целью выработки оптимального решения по выпуску продукции для получения максимальной прибыли и минимизации затрат с помощью методов оптимизации и программы MS Excel и инструментального пакета Matlab.

дипломная работа , добавлен 15.06.2014

Обзор алгоритмов методов решения задач линейного программирования. Разработка алгоритма табличного симплекс-метода. Составление плана производства, при котором будет достигнута максимальная прибыль при продажах. Построение математической модели задачи.

курсовая работа , добавлен 21.11.2013

Определение количества и вида тракторных и автомобильных глушителей, которые следует изготовить предприятию, чтобы прибыль была максимальной. Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом, с помощью табличного редактора Excel.

курсовая работа , добавлен 09.04.2013

Оптимизация затрат на доставку продукции потребителям. Характеристика транспортной задачи, общий вид решения, обобщение; содержательная и математическая постановка задачи, решение с помощью программы MS Excel: листинг программы, анализ результатов.

курсовая работа , добавлен 04.02.2011

Математические основы оптимизации. Постановка задачи оптимизации. Методы оптимизации. Решение задачи классическим симплекс методом. Графический метод. Решение задач с помощью Excel. Коэффициенты целевой функции. Линейное программирование, метод, задачи.

реферат , добавлен 21.08.2008

Определение количества закупаемого сырья на выпуск продукции по месяцам, в течении года и за год в целом. Алгоритм необходимых действий, представление результатов в графическом виде. Решение задачи в табличном процессоре Excel и с помощью средств VBA.

Решение ЗЛП симплексным методом с использованием таблиц EXCEL

Пусть исходная ЗЛП приведена к каноническому виду, а ее система ограничений имеет предпочтительный вид. Например, для “Задачи об использовании сырья” математическая модель соответствующего вида будет такова:

Первая симплексная таблица на рабочем листе EXCEL будет иметь вид (рис. 10):

Считая, что студент знаком с алгоритмом табличного симплекс-метода, опишем основные этапы его реализации с помощью таблиц EXCEL.

Этап 1. Выбрать разрешающие столбец и строку и выделить разрешающий элемент (см. рис. 11).

Этап 2. Заменить в новой таблице столбцы “Базис” и ”С б ” согласно правилам их заполнения.

Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и записываются в соответствующей по номеру строке новой таблицы:

, при i = r . (*)

Все остальные элементы новой таблицы рассчитываются по формулам:

, при i ≠ r (**)

где - элемент новой симплекс-таблицы, a ij , - элемент предыдущей симплекс-таблицы, a rk - разрешающий элемент, a ik - элемент разрешающего столбца, a rj - элемент разрешающей строки.

Примечание . Для использования возможности EXCEL копирования формул с модификацией адресов входящих в них ячеек целесообразно программировать формулы (*) и (**) только для ячеек столбца ”В”, поставив не изменяющимся ячейкам абсолютные адреса. Затем данные формулы копируются во все оставшиеся ячейки каждой строки новой таблицы.

Этап 4. Элементы последней строки новой таблицы заполняются или по формулам (**), или по правилу заполнения данной строки.

Результаты расчетов в таблицах EXCEL для нашего примера приводятся на рис 11, а формулы, использовавшиеся при данных расчетах – на рис. 12.

Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986.-319с., ил.

Сакович В.А. Исследование операций (детерминированные методы и модели): Справочное пособие. - Мн.: Выш. шк., 1984.-256с.

Таха Х. Введение в исследование операций: в 2-х книгах. Кн.1. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985.-479с., ил.

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическое программирование» (линейное программирование) для студентов экономических специальностей / Сост. Туровцев Г.В., Нудный И.П. – Запорожье, ЗГИА, 1984.-31с.

Математическое программирование. Конспект лекций для студентов экономических специальностей дневного и заочного отделений /Глущевский В.В., Исаенко А.Н. – Запорожье: ЗГИА, 2003. – 150с.

1. Преобразовываем неравенства в равенства

2. Находим начальное допустимое базисное решение

3. На основе условия оптимальности определяется вводимая переменная. Если вводимых переменных нет, то процесс закончен.

4. На основе условия допустимости выбираем исключаемая переменная

5. Вычисляем элементы новой ведущей строки

новая ведущая строка = текущая строка/ведущий элемент

6. Вычисляем элементы остальных строк, включая z-строку

новая строка = текущая строка – ее коэффициенты в ведущем столбце * новую ведущую строку

Переходим к шагу 3.

Для удобства записи итерационного процесса все значения записываем в Симплекс-таблицу.

2. Пример решения задачи лп с использованием пакета ms excel

Для многих задач оптимизации удобно применять модель линейного программирования. Суть задачи заключается в составлении системы неравенств, описывающих соответствующие ограничения задачи и задания функции оптимизации.

Для нахождения решения в подобных моделях, можно использовать средство MS EXCEL – ПОИСК РЕШЕНИЯ.

Рассмотрим, как составить модель линейного программирования и найти ее решение на примере.

2.1. Постановка задачи

На трех станках обрабатываются детали двух видов (А и Б), причем каждая деталь проходит обработку на всех станках. Известно время обработки деталей на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль от продажи одной детали каждого вида (данные в таблице). Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

2.2. Построение математической модели

Обозначим через х 1 и х 2 количество единиц деталей видов А и Б, планируемое к выпуску. Тогда время обработки х 1 деталей вида А на первом станке составляет 1* х 1 ; х 2 деталей вида Б соответственно 2*х 2 . Суммарное время работы станка I для изготовления планируемого количества деталей равно х 1 +2*х 2 , оно ограничено 16 часами работы этого станка в течение одного цикла производства. Поэтому должно выполняться неравенство:

х 1 +2*х 2 <=16;

Аналогично для станков II и III получаем неравенства соответственно:

х 1 + х 2 <=10;

3*х 1 + х 2 <=24;

Кроме того, по смыслу определения веденных величин х 1 и х 2 , должны выполняться условия: х 1 >=0; х 2 >=0;

Таким образом, получаем систему неравенств, называемую системой ограничений задачи:

Любое решение (х 1 ; х 2) системы ограничений называется планом выпуска продукции или допустимым планом задачи.

Прибыль от реализации х 1 единиц деталей вида А равна 4 . х 1 , а прибыль от реализации х 2 единиц деталей вида Б равна 2х 2. Суммарная прибыль от реализации продукции, выпущенной согласно плану (х 1 ; х 2) равна:

F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 (тыс. руб).

Линейная функция F (х 1 ; х 2 ) называется целевой функцией задачи.

По условию задачи требуется найти такой план (х 1 ; х 2) при котором прибыль была бы максимальной.

Таким образом, построена математическая модель задачи как задачи линейного программирования:

F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 → max

В Excel 2007 для включения пакета анализа надо нажать перейти в блок Параметры Excel , нажав кнопку в левом верхнем углу, а затем кнопку «Параметры Excel » внизу окна:

Далее в открывшемся списке нужно выбрать Надстройки , затем установить курсор на пункт Поиск решения , нажать кнопку Перейти и в следующем окне включить пакет анализа.

Заполните данные

Значение переменных X i может различаться, но целевая функция F(x) должна иметь такое же значение.

Иногда задание звучит следующим образом: расчеты осуществить на ЭВМ, привести распечатку полученных результатов.

MS Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета. Существует три типа таких отчетов:

Результаты (Answer). В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.
Устойчивость (Sensitivity). Отчет, содержащий сведения о чувствительности решения к малым изменениям в изменяемых ячейках или в формулах ограничений.
Пределы (Limits). Помимо исходных и конечных значений изменяемых и целевой ячеек в отчет включаются верхние и нижние границы значений, которые могут принимать влияющие ячейки при соблюдении ограничений.

Пример . В библиотеке работают 6 пожилых уборщиц. Каждая из них по своим физическим возможностям и состоянию здоровья может выполнять только определенные виды работ, причем с определенной производительностью. Площадь каждой из работ известна. Нужно добиться минимума времени на уборку помещений.

	ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ БАБУШЕК м 2 . /мин
	Баба Аня	Белла Петровна	Баба Варя	Баба Галя	Домна Ивановна	Евгения Карловна	Площадь работ
Мытье окон	2	0	0	1	0	0	46
Мытье полов	0	1	0	0	0	0	300
Протирка столов	0	0	2	0	0.2	1	50
Чистка дорожек	0	0	0	2	0	4	100

Пример .На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
Найти оптимальное соотношение количества кормов и численности поголовья лис и песцов.

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

≤ = ≥

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x при . min (40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 3 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 2 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x 1 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x 4 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F (X )=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е.

Базисные векторы x 4 , x 3 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 3 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x 3 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x 2 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 2 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x 3 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x 5 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 3 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы x 4 , x 5 , x 6 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 5 , x 6 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 5 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 6 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x 0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.