Задание 1 #10050
\((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x)\)
Составьте её таблицу истинности. В качестве ответа введите количество наборов \((x,\) \(y,\) \(z),\) при которых функция равна 1.
1. Упростим \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y).\)
По закону дистрибутивности \((y \wedge x) \vee (x \wedge \overline y)\) = \(x \wedge (y \vee \overline y).\) \(y \vee \overline y = 1\) (если \(y = 0,\) то \(\overline y \vee y = 1 \vee 0 = 1,\) если \(y = 1,\) то \(\overline y \vee y = 0 \vee 1 = 1).\) Тогда \(x \wedge (y \vee \overline y) = x \wedge 1 = x .\)
2. Упростим \((y\wedge z) \vee (z \wedge x).\) По закону дистрибутивности \((y\wedge z) \vee (z \wedge x) = z \wedge (y \vee x).\)
3. Получим: \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x) = x \vee z \wedge (y \vee x).\)
4. В таблице истинности содержится 8 строчек (строк всегда \(2^n,\) где \(n\) - количество переменных). В нашем случае переменных 3.
5. Заполним таблицу истинности.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & z & y \vee x & z \wedge (y \vee x) & F = x \vee z \wedge (y \vee x) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Так как дизъюнкция \(x \vee z \wedge (y \vee x)\) истинна, если истинно хотя бы одно из входящих в нее высказываний, то для \(x = 1\) \(F = 1\) при любых \(y\) и \(z\) (строки 5-8 в таблице истинности).
Рассмотрим случай, когда \(x = 0.\) Тогда значение функции будет зависить от значения \(z \wedge (y \vee x).\) Если \(z \wedge (y \vee x)\) истинна, то и \(F\) истинна, если ложна, то \(F\) ложна. Рассмотрим случай, когда \(F = 1.\) Конъюнкция \((z \wedge (y \vee x))\) истинна, если все входящие в нее высказывания истинны, то есть \(y \vee x = 1\) и \(z = 1.\) \(x = 0,\) значит, \(y \vee x = 1,\) когда \(y = 1\) (строка 4).
Если же одно из высказываний, входящих в конъюнкцию, ложно, то вся конъюнкция ложна. Если \(x = 0\) и \(y = 0,\) то \(y \vee x = 0.\) Тогда \(z \wedge (x \vee y) = 0\) при любом \(z\) (строки 1-2). Так как \(x = 0,\) а второе высказывание, входящее в дизъюнкцию \((z \wedge (x \vee y)),\) тоже ложно, то и вся функция ложна. Если \(x = 0\) и \(y = 1,\) то \(y \vee x = 1.\) Если \(z = 0,\) \(z \wedge (y \vee x) = 0.\) Тогда \(F = 0\) (строка 3). Случай, когда \(z = 1,\) \(y = 1,\) \(x = 0,\) был рассмотрен в предыдущем абзаце.
Мы построили таблицу истинности. Видим, что в ней есть 5 наборов, при которых \(F = 1.\) Поэтому ответ: 5.
Ответ: 5
Задание 2 #10051
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \wedge \overline y \wedge z) \vee (x \rightarrow y)\)
Составьте её таблицу истинности. В качестве ответа введите количество наборов \((x,\) \(y,\) \(z),\) при которых функция равна 0.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & z & \overline y & x\wedge \overline y & x \wedge \overline y \wedge z & \overline x & \overline x \vee y & x \wedge \overline y \wedge z \vee \overline x \vee y \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline \end{array}\]
1. \(x \rightarrow y\) = \(\overline x \vee y.\)
2. Заметим, что при \(y = 1\) \(F = 1,\) так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно выражение, входящее в нее (строки 3-4, 7-8 в таблице истинности). Аналогично при \(\overline x = 1,\) то есть при \(x = 0,\) \(F = 1\) (строки 1-4).
3. При \(x = 1\) и \(y = 0\) \(\overline x \vee y = 0,\) \(x \wedge \overline y = 1.\) При \(z = 1\) \(x \wedge \overline y \wedge z = 1\) и \(F = 1,\) так как истинно одно из выражений (строка 6), а при \(z = 0\) \(x \wedge \overline y \wedge z = 0\) и \(F = 0,\) так как оба выражения, входящие в дизъюнкцию, ложны (строка 5).
По построенной таблице истинности видим, что для одного набора \((x,\) \(y,\) \(z)\) \(F = 0.\)
Ответ: 1
Задание 3 #10052
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline{z \vee \overline y}) \vee (w \wedge (z \equiv y)) \)
Составьте её таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(z,\) \(y\) и \(w,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline w & y & z & \overline y & z \vee \overline y & \overline{z \vee \overline y} & z \equiv y & w \wedge (z \equiv y) & \overline z \vee \overline y \vee w \wedge (z \equiv y) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
1. \((\overline{z \vee \overline y}) = \overline z \wedge y \)
2. В таблице истинности будет \(2^3 = 8\) строк.
3. Если \(z = 1 \) и \(y = 1,\) \(то (z \equiv y) = 1 \) (так как эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно ложны или истинны). \(\overline z \wedge y = 0\) \((0 \wedge 1 = 0).\) Если \(w = 1,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 1\) \((1 \wedge 1 = 1)\) и \(F = 1,\) так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из входящих в нее высказываний (строка 8 в таблице истинности). Если \(w = 0,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 0\) \((0 \wedge 1 = 0)\) и \(F = 0,\) так как оба высказывания, входящие в дизъюнкцию, ложны (строка 4).
4. Аналогично для \(z = 0, y = 0.\) \((z \equiv y) = 1,\) \(\overline z \wedge y = 0\) \((1 \wedge 0 = 0).\) Тогда снова значение функции будет зависеть от \(w.\) При \(w = 1\) \(w \wedge (z \equiv y) = 1,\) \(F = 1,\) так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строка 5), а при \(w = 0\) \(w \wedge (z \equiv y) = 0,\) \(F = 0,\) так как все высказывания ложны (строка 1).
5. Если \(z = 0\) и \(y = 1,\) то \(\overline z \wedge y = 1\) \((1 \wedge 1 = 1).\) Так как \((z \equiv y) = 0\) (ведь значения \(z\) и \(y\) различны), будет ложна при любом \(w.\) Тогда, так как значение переменной \(w\) не будет влиять на значение функции, при \(z = 0\) и \(y = 1\) \(w\) может быть как 0, так и 1. \(F = 1,\) так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строки 3, 7).
6. Если \(z = 1\) и \(y = 0,\) то \(\overline z \wedge y = 0 \wedge 0 = 0.\) Так как \((z \equiv y) = 0,\) \(w \wedge (z \equiv y) = w \wedge 0\) будет ложна при любом \(w\) (то есть \(w\) может быть и 0 и 1). Значит, при \(z = 1\) и \(y = 0\) \(F\) всегда будет ложна (так как оба высказывания, входящих в дизъюнкцию, ложны, строки 2, 5).
7. \(F = 1\) при следующих наборах \(z,\) \(y,\) \(w:\) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 0). Если просуммировать значения, то получим 7.
Ответ: 7
Задание 4 #10053
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(a \wedge ((\overline{b \wedge c}) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a)) \)
Составьте её таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(a,\) \(b\) и \(c,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
1. В таблице истинности \(2^3 = 8\) строк.
2. При \(a = 0\) \(F = 0\) при любых значениях \(b\) и \(c,\) так как конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все высказывания, входящие в нее, истинны (строки 1-4 в таблице истинности).
3. Рассмотрим случаи, когда \(a = 1.\) Если \(\overline {(b \wedge c)} \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = 1,\) то \(F = 1\) (так как оба высказывания будут истинны), иначе \(F = 0\) (так как одно высказывание будет ложно). По закону де Моргана \(\overline{b \wedge c} = \overline b \vee \overline c.\) Тогда, учитывая, что \(a = 1,\) \(\overline {(b \wedge c)} \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = \overline b \vee \overline c \vee \overline b \vee \overline c = \overline b \vee \overline c.\)
4. Если \(\overline b = 0\) и \(\overline c = 0\) (одновременно, то есть при \(b = 1\) и \(c = 1),\) то \(\overline b \vee \overline c = 0\) и \(F = 0\) (строка 8). В остальных случаях \(\overline b \vee \overline c = 1\) и \(F = 1\) (строки 5-7).
5. Наборы \((x,\) \(y,\) \(z),\) при которых \(F = 1:\) (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1). Сумма значений равна 5.
Ответ: 5
Задание 5 #10054
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) \)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(a,\) при которых \(F = 0.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a & b & c & d & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
1. По закону дистрибутивности \((a \wedge b) \vee (b \wedge c) = b \wedge (a \vee c).\)
2. \(d \rightarrow a = \overline d \vee a.\)
3. \(((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) = b \wedge (a \vee c) \equiv (\overline d \vee a \vee (b \wedge \overline c)) .\)
4. Если \(b = 0,\) то левая часть функции равна 0 \((0 \wedge (a \vee c) = 0).\) \(b \wedge \overline c = 0 \wedge \overline c = 0.\) Значит, для \(b = 0\) \(c\) может быть любым, так как не влияет на значение функции. \(F = 1,\) если \(\overline d \vee a = 0\) (тогда одно из выражений, входящих в дизъюнкцию, будет истинно). Это выполняется при \(\overline d = 0\) \((d = 1)\) и \(a = 0\) (строки 2, 3). При других \(d\) и \(a\) \(\overline d \vee a = 0,\) значит, \(F = 0,\) так как операция эквивалентности истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или ложны (строки 1, 10 в таблице истинности).
5. Если \(b = 1,\) то \(b \wedge (a \vee c) = 1 \wedge (a \vee c) = a \vee c.\) \(b \wedge \overline c = 1 \wedge \overline c = \overline c.\) Тогда имеем, что \(a \vee c \equiv \overline d \vee a \vee \overline c.\) Если \(a = 1,\) то \(a \vee c = 1 \) и \(\overline d \vee a \vee \overline c = 1,\) так как дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из выражений истинно (а в обеих дизъюнкциях есть \(a = 1).\) Тогда, если \(b = 1\) и \(a = 1,\) \(F = 1\) при любых \(c\) и \(d\) (строки 5, 7, 8, 11).
Если \(a = 0,\) то \(a \vee c = 0 \vee c = c,\) а \(\overline d \vee a \vee \overline c = \overline d \vee \overline c.\) Имеем: \(c \equiv (\overline d \vee \overline c).\) При \(c = 1\) \(1 \equiv \overline d.\) При \(d = 1\) \(F = 0,\) так как высказывания различны (строка 4), при \(d = 0\) \(F = 1,\) так как оба высказывания истинны (строка 14). При \(c = 0\) \(0 \equiv (\overline d \vee 1).\) Так как \(\overline d \vee 1\) - дизъюнкция, в которой одно из высказываний истинно, то и вся дизъюнкция истинна. Тогда \(0 \equiv 1,\) что неверно, значит, \(F = 0\) при любых \(d\) (строка 9, 16).
По построенной таблице видим, что \(F = 0\) при \(a = 0\) (строки 1, 4, 9, 10, 16) и при \(a = 1\) (строки 6, 12, 13, 15). Тогда сумма значений равна 0 * 5 + 1 * 4 = 4.
Ответ: 4
Задание 6 #10055
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((a \equiv (b \vee \overline c)) \rightarrow (c \wedge (b \vee a)) \)
Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений \(c,\) при которых \(F = 1.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
В таблице \(2^3 = 8\) строк.
1. Импликация ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Значит, \(F = 0,\) если a \(c \wedge (b \vee a) = 0.\) В остальных случаях \(F = 1.\) Рассмотрим, при каких значениях \(a,\) \(b\) и \(c\) \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1\) (если \(a \equiv (b \vee \overline c) = 0,\) то \(F = 1\) при любом значении \(c \wedge (b \vee a) = 0).\)
Если \(a = 0,\) то, чтобы выполнялось \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1,\) необходимо \(b \vee \overline c = 0\) (ведь операция эквивалентности истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны). Чтобы дизъюнкция \((b \vee \overline c)\) была ложна, оба высказывания, входящие в нее, должны быть ложны, то есть \(b = 0\) и \(\overline c = 0\) \((c = 1).\) При таких значениях \(c \wedge (b \vee a) = 1 \wedge (0 \vee 0) = 0.\) Тогда \((a \equiv (b \vee \overline c)) \rightarrow (c \wedge (b \vee a)) = 1 \rightarrow 0 = 0,\) \(F = 0.\) Это соответствует строке 2 из таблицы истинности.
Если \(a = 1,\) то чтобы выполнялось \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1,\) \(b \vee \overline c = 1.\) Это выполняется в нескольких случаях. Если \(b = 1,\) то \(c\) может быть равна и нулю и единице, ведь одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, уже истинно. При \(c = 1\) \(c \wedge (b \vee a) = 1 \wedge 1 = 1,\) тогда \(F = 1\) (так как \(1 \rightarrow 1 = 1,\) строка 7). При \(c = 0\) \(c \wedge (b \vee a) = 0 \wedge 1 = 0,\) значит, \(F = 0\) \((1 \rightarrow 0 = 0,\) строка 6). Если \(b = 0,\) то \(\overline c = 1\) \((c = 0,\) тогда одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, будет истинным). В таком случае \(c \wedge (b \vee a) = 0 \wedge (0 \vee 1) = 0.\) \(F = 0,\) так как \(1 \rightarrow 0 = 0\) (строка 5).
2. При других значениях \(a,\) \(b\) и \(c\) \(F = 1,\) потому что \(a \equiv (b \vee \overline c) = 0\) (строки 1, 3, 7, 8).
3. Из составленной таблицы истинности видим, что \(F = 1\) при \(c = 0\) (строки 1, 4) и при \(c = 1\) (строки 3, 7, 8). Сумма значений равна 0 * 2 + 1 * 3 = 3.\(2^4 = 16\) строк.
1. Так как конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, то при \(d = 0\) \(F = 0\) при любых \(a,\) \(b\) и \(c\) (строки 1, 6-10, 12, 14 в таблице истинности).
2. Рассмотрим случай, когда \(d = 1.\) Тогда \((a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge d = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge 1 = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c).\) При \(b = 1\) \(a \rightarrow b = a \rightarrow 1 = 1\) при любом \(a,\) так как импликация ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Если \(c = 1,\) то \(b \equiv c = 1,\) так как операция эквивалентности истинна, когда оба выражения истинны или оба ложны, и \(F = 1\) (так как все выражения, входящие в конъюнкцию, истинны). Это соответствует строкам 4 и 5. Если \(c = 0,\) то \(b \equiv c = 0,\) \(F = 0,\) так как одно из выражений, входящее в конъюнкцию, ложно (строки 11 и 16).
При \(b = 0:\) если \(a = 1,\) то \(a \rightarrow b = 1 \rightarrow 0 = 0,\) тогда одно из выражений, входящих в конъюнкцию, ложно, и \(F = 0\) при любом \(c\) (строки 13 и 15). Если \(a = 0,\) то \(a \rightarrow b = 0 \rightarrow 0 = 1.\) Если \(c = 0,\) то \(b \equiv c = 0 \equiv 0 = 1,\) \(F = 1,\) так как оба выражения, входящих в конъюнкцию, истинны (строка 2). Если \(c = 1,\) то \(b \equiv c = 0 \equiv 1 = 0,\) \(F = 0,\) так как одно из выражений, входящих в конъюнкцию, ложно (строка 3).
Таким образом, \(F = 1\) при \(d = 1\) (строки 2, 4, 5). Сумма значений \(d\) равна 1 * 3 = 3.
Определение 1
Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.
Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.
Определение 2
Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.
Определение 3
Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.
При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:
Рисунок 1.
Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.
Алгоритм построения таблицы истинности логической функции
Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка) , $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.
Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.
Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.
Рисунок 2.
Пример 1
Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$.
Решение:
- инверсия ($\bar{A}$);
- дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($B \vee C$);
дизъюнкция ($\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$) – искомое логическое выражение.
Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.
Определим количество строк:
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Количество переменных – $3$.
Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.
Рисунок 3.
Пример 2
По данному логическому выражению построить таблицу истинности:
Решение:
- отрицание ($\bar{C}$);
- дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
- конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline{C}$);
- отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}$);
- дизъюнкция ($A \vee C$);
- конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
- отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline{(A\vee C)\bigwedge B}$);
дизъюнкция – искомая логическая функция ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$).
Определим количество строк:
Количество простых выражений – $n=3$, значит
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Определим количество столбцов:
Количество переменных – $3$.
Количество логических операций и их последовательность:
В цифровой схемотехнике цифровой сигнал - это сигнал, который может принимать два значения, рассматриваемые как логическая "1" и логический "0".
Логические схемы могут содержать до 100 миллионов входов и такие гигантские схемы существуют. Представьте себе, что булева функция (уравнение) такой схемы была потеряна. Как восстановить её с наименьшими потерями времени и без ошибок? Наиболее продуктивный способ - разбить схему на ярусы. При таком способе записывается выходная функция каждого элемента в предыдущем ярусе и подставляется на соответствующий вход на следующем ярусе. Этот способ анализа логических схем со всеми нюансами мы сегодня и рассмотрим.
Логические схемы реализуются на логических элементах: "НЕ", "И", "ИЛИ", "И-НЕ", "ИЛИ-НЕ", "Исключающее ИЛИ" и "Эквивалентность". Первые три логических элемента позволяют реализовать любую, сколь угодно сложную логическую функцию в булевом базисе . Мы будем решать задачи на логические схемы, реализованные именно в булевом базисе.
Для обозначения логических элементов используется несколько стандартов. Наиболее распространёнными являются американский (ANSI), европейский (DIN), международный (IEC) и российский (ГОСТ). На рисунке ниже приведены обозначения логических элементов в этих стандартах (для увеличения можно нажать на рисунок левой кнопкой мыши).
На этом уроке будем решать задачи на логические схемы, на которых логические элементы обозначены в стандарте ГОСТ.
Задачи на логические схемы бывают двух видов: задача синтеза логических схемы и задачи анализа логических схем. Мы начнём с задачи второго типа, так как в таком порядке удаётся быстрее научиться читать логические схемы.
Чаще всего в связи с построением логических схем рассматриваются функции алгебры логики:
- трёх переменных (будут рассмотрены в задачах анализа и в одной задаче синтеза);
- четырёх переменных (в задачах синтеза, то есть в двух последних параграфах).
Рассмотрим построение (синтез) логических схем
- в булевом базисе "И", "ИЛИ", "НЕ" (в предпоследнем параграфе);
- в также распространённых базисах "И-НЕ" и "ИЛИ-НЕ" (в последнем параграфе).
Задача анализа логических схем
Задача анализа заключается в определении функции f , реализуемой заданной логической схемой. При решении такой задачи удобно придерживаться следующей последовательности действий.
- Логическая схема разбивается на ярусы. Ярусам присваиваются последовательные номера.
- Выводы каждого логического элемента обозначаются названием искомой функции, снабжённым цифровым индексом, где первая цифра - номер яруса, а остальные цифры - порядковый номер элемента в ярусе.
- Для каждого элемента записывается аналитическое выражение, связывающее его выходную функцию с входными переменными. Выражение определяется логической функцией, реализуемой данным логическим элементом.
- Производится подстановка одних выходных функций через другие, пока не получится булева функция, выраженная через входные переменные.
Пример 1.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы, что уже показано на рисунке. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
x , y , z :
| x | y | z | f | ||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Пример 2. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Пример 3. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Продолжаем искать булеву функцию логической схемы вместе
Пример 4. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :
В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:
.
Таблица истинности для данной логической схемы:
| x | y | z | f | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Пример 5. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Структура данной логической схемы, в отличие от предыдущих примеров, имеет 5 ярусов, а не 4. Но одна входная переменная - самая нижняя - пробегает все ярусы и напрямую входит в логический элемент в первом ярусе. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :
В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:
.
Таблица истинности для данной логической схемы:
| x | y | z | f | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Задача синтеза логических схем в булевом базисе
Разработка логической схемы по её аналитическому описанию имеет название задачи синтеза логической схемы.
Каждой дизъюнкции (логической сумме) соответствует элемент "ИЛИ", число входов которого определяется количеством переменных в дизъюнкции. Каждой конъюнкции (логическому произведению) соответствует элемент "И", число входов которого определяется количеством переменных в конъюнкции. Каждому отрицанию (инверсии) соответствует элемент "НЕ".
Часто разработка логической схемы начинается с определения логической функции, которую должна реализовать логическая схемы. В этом случае дана только таблица истинности логической схемы. Мы разберём именно такой пример, то есть, решим задачу, полностью обратную рассмотренной выше задаче анализа логических схем.
Пример 6. Построить логическую схему, реализующую функцию с данной таблицей истинности.
|
|
|
|
|
Выбираем строки, где
и
выписываем конъюнкции всех переменных,
при чем, если переменная в этом наборе
равна 1, то записываем ее саму, а если
переменная = 0, то ее отрицание.
Для данного примера
коньюнкция этих дизъюнкций и будет искомой формулой:
Определение: Конъюнкция называетсяэлементарной , если все переменные, входящие в нее, различны. Количество букв, входящих в элементарную конъюнкцию или элементарную дизъюнкцию, называетсярангом.
Число 1 считается элементарной конъюнкцией ранга 0. Переменная считается элементарной конъюнкцией или элементарной дизъюнкцией ранга 1. Число 0 считается элементарной дизъюнкцией ранга 0. Любую конъюнкцию переменных, не являющуюся тождественно ложной, можно привести к виду элементарной, а любую дизъюнкцию букв, не являющуюся тождественно истинной, также можно привести к виду элементарной. Для этого надо применить свойства коммутативности, идемпотентности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции.
Строго доказано, что любую формулу булевой алгебры можно выразить с помощью операций , &,. Интуитивно этот факт очевиден, вспомним алгоритм составления формулы по таблице истинности. При этом мы используем только эти операции. Такая форма записи называетсядизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Это своеобразный механизм нормализации формул алгебры логики.
Определение: ДНФ – это дизъюнкция различных элементарных конъюнкций (т.е. каждая конъюнкция состоит из элементарных высказываний или их отрицаний).
Аналогично определяется КНФ – коньюктивная нормальная форма.
Определение: Если в ДНФ все элементарные конъюнкции имеют один и тот же ранг, равный числу переменных, от которых зависит ДНФ, то она называетсясовершенной (СДНФ).
Теорема. Для любой функции, не являющейся тождественно ложной, существует и притом единственная СДНФ.
Следствие . Любую булеву функцию, не являющуюся тождественно ложной можно представить в виде суперпозиции&,,, причем отрицание относится только к переменным.
Определение: Система логических операций называется функционально полной, если с помощью этих операций и констант этой системы можно представить любую функцию булевой алгебры.
Системы {&,,}; {,}; {&,},{/} – являются функционально полными
{&,} – функционально неполная.
Мы примем эти факты без доказательства, и решая задачи, будем стараться любую формулу представить с помощью {&,,}. Позже мы более подробно обсудим вопрос функциональной полноты и неполноты системы операций.
Тема 1.7. Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач.
Рассмотрим пример решения логической задачи.
Пример :
После обсуждения состава участников экспедиции решено, что должны выполняться два условия.
Если поедет Арбузов, то должны ехать Брюквин или Вишневский
Если поедут Арбузов и Вишневский то поедет Брюквин
Составить логическую формулу принятия решения в символической форме, упростить полученную формулу и сформулировать по ней новое условие формирования экспедиции.
Введём переменные и соответствующие им элементарные высказывания.
- поедет Арбузов
- поедет Брюквин
- поедет Вишневский
Тогда выработанные условия формирования экспедиции будут выглядеть следующим образом:
Составим общую формулу и упростим выражение
т.е. если поедет Арбузов, то поедет Брюквин.
Пример:
Если завтра будет хорошая погода, то мы пойдем на пляж или поедем в лес. Составим формулу нашего поведения на завтра.
–
хорошая погода
– мы пойдем на пляж
– мы поедем в лес
Теперь построим отрицание этой фразы
т.о. получим высказывание "Завтра будет хорошая погода, и мы не пойдем в лес и на пляж.
Желающие могут построить таблицу истинности и проверить это утверждение.
Пример :
По подозрению в совершенном преступлении, задержаны Браун, Джон и Смит. Один из них уважаемый в городе старик, второй чиновник, а третий известный мошенник. В ходе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом лгал.
Вот что они говорили:
Браун: Я совершил это. Джон не виноват. (Б&Д)
Джон: Браун не виноват. Преступник Смит. (Б&С)
Смит: Я не виноват. Виноват Браун (С&Б)
Опишем эти высказывания формально:
- преступление совершил Браун
- преступление совершил Джон
- преступление совершил Смит
Тогда их слова описываются следующими выражениями:
Браун:
Джон:
Смит:
Т.к. по условиям задачи две из этих &ложны и одна истинна, то
Составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остается только случай 2 , т.е. преступник Смит, и оба его высказывания ложны.
следовательно
–
ложно и
-
истинно
=
1 – Джон уважаемый старик
Остается, что Браун чиновник, и поскольку
– ложно, то
– истинно.
Пользуясь законами и тождествами булевой алгебры можно упрощать логические выражения.
Пример :
Упражнение:
И , которых Вам будет достаточно для решения сложных логических выражений. Также мы рассмотрим порядок выполнения данных логических операций в сложных логических выражениях и представим таблицы истинности для каждой логической операции. Советуем Вам воспользоваться нашими программами для решения задач по математике, и . Помоми большого количества программ для решения задач на сайте работает , на котором Вы всегда можете задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!
Глоссарий, определения логики
Высказывание - это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).
Логические операции - мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.
Логическое выражение - устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).
Сложное логическое выражение - логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.
Логические операции и таблицы истинности
1) Логическое умножение или конъюнкция:
Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда
оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.
Таблица истинности для конъюнкции
3) Логическое отрицание или инверсия:
Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.
Таблица истинности для инверсии
5) Логическая равнозначность или эквивалентность:
Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.
Таблица истинности для эквивалентности
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении
1. Инверсия;
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.
