Дискретный фильтр калмана. Оптимальная матрица коэффициентов усиления

Как то так повелось, что очень нравятся мне всякие алгоритмы, имеющие четкое и логичное математическое обоснование) Но зачастую их описание в интернете настолько перегружено формулами и расчетами, что общий смысл алгоритма понять просто невозможно. А ведь понимание сути и принципа работы устройства/механизма/алгоритма намного важнее, чем заучивание огромных формул. Как это ни банально, но запоминание даже сотни формул ничем не поможет, если не знать, как и где их применить 😉 Собственно, к чему все это.. Решил я замутить описание некоторых алгоритмов, с которыми мне приходилось сталкиваться на практике. Постараюсь не перегружать математическими выкладками, чтобы материал был понятным, а чтение легким.

И сегодня мы поговорим о фильтре Калмана , разберемся, что это такое, для чего и как он применяется.

Начнем с небольшого примера. Пусть перед нами стоит задача определять координату летящего самолета. Причем, естественно, координата (обозначим ее ) должна определяться максимально точно.

На самолете мы заранее установили датчик, который и дает нам искомые данные о местоположении, но, как и все в этом мире, наш датчик неидеален. Поэтому вместо значения мы получаем:

где – ошибка датчика, то есть случайная величина. Таким образом, из неточных показаний измерительного оборудования мы должны получить значение координаты (), максимально близкое к реальному положению самолета.

Задача поставлена, перейдем к ее решению.

Пусть мы знаем управляющее воздействие (), благодаря которому летит самолет (пилот сообщил нам, какие рычаги он дергает 😉). Тогда, зная координату на k-ом шаге, мы можем получить значение на (k+1) шаге:

Казалось бы, вот оно, то что надо! И никакой фильтр Калмана тут не нужен. Но не все так просто.. В реальности мы не можем учесть все внешние факторы, влияющие на полет, поэтому формула принимает следующий вид:

где – ошибка, вызванная внешним воздействием, неидеальностью двигателя итп.

Итак, что же получается? На шаге (k+1) мы имеем, во-первых, неточное показание датчика , а во-вторых, неточно рассчитанное значение , полученное из значения на предыдущем шаге.

Идея фильтра Калмана заключается в том, чтобы из двух неточных значений (взяв их с разными весовыми коэффициентами) получить точную оценку искомой координаты (для нашего случая). В общем случае, измеряемая величина можем быть абсолютно любой (температура, скорость..). Вот, что получается:

Путем математических вычислений мы можем получить формулу для расчета коэффициента Калмана на каждом шаге, но, как условились в начале статьи, не будем углубляться в вычисления, тем более, что на практике установлено, что коэффициент Калмана с ростом k всегда стремится к определенному значению. Получаем первое упрощение нашей формулы:

А теперь предположим, что связи с пилотом нет, и мы не знаем управляющее воздействие . Казалось бы, в этом случае фильтр Калмана мы использовать не можем, но это не так 😉 Просто “выкидываем” из формулы то, что мы не знаем, тогда

Получаем максимально упрощенную формулу Калмана, которая тем не менее, несмотря на такие “жесткие” упрощения, прекрасно справляется со своей задачей. Если представить результаты графически, то получится примерно следующее:

Если наш датчик очень точный, то естественно весовой коэффициент K должен быть близок к единице. Если же ситуация обратная, то есть датчик у нас не очень хороший, то K должен быть ближе к нулю.

На этом, пожалуй, все, вот так вот просто мы разобрались с алгоритмом фильтрации Калмана! Надеюсь, что статья оказалась полезной и понятной =)

Фильтр Калмана

Фильтр Калмана широко используется в инженерных и эконометрических приложениях: от радаров и систем технического зрения до оценок параметров макроэкономических моделей . Калмановская фильтрация является важной частью теории управления , играет большую роль в создании систем управления. Совместно с линейно-квадратичным регулятором фильтр Калмана позволяет решить задачу линейно-квадратичного гауссовского управления . Фильтр Калмана и линейно-квадратичный регулятор - возможное решение большинства фундаментальных задач в теории управления.

В большинстве приложений количество параметров, задающих состояние объекта, больше, чем количество наблюдаемых параметров, доступных для измерения. При помощи модели объекта по ряду доступных измерений фильтр Калмана позволяет получить оценку внутреннего состояния.

Фильтр Калмана предназначен для рекурсивного дооценивания вектора состояния априорно известной динамической системы, то есть для расчёта текущего состояния системы необходимо знать текущее измерение, а также предыдущее состояние самого фильтра. Таким образом, фильтр Калмана, как и множество других рекурсивных фильтров, реализован во временно́м, а не в частотном представлении.

Наглядный пример возможностей фильтра - получение точных, непрерывно обновляемых оценок положения и скорости некоторого объекта по результатам временно́го ряда неточных измерений его местоположения. Например, в радиолокации стоит задача сопровождения цели, определения её местоположения, скорости и ускорения, при этом результаты измерений поступают постепенно и сильно зашумлены. Фильтр Калмана использует вероятностную модель динамики цели, задающую тип вероятного движения объекта, что позволяет снизить воздействие шума и получить хорошие оценки положения объекта в настоящий, будущий или прошедший момент времени.

Введение

Фильтр Калмана оперирует понятием вектора состояния системы (набором параметров, описывающих состояние системы на некоторый момент времени) и его статистическим описанием. В общем случае динамика некоторого вектора состояния описывается плотностями вероятности распределения его компонент в каждый момент времени. При наличии определенной математической модели производимых наблюдений за системой, а также модели априорного изменения параметров вектора состояния (а именно - в качестве марковского формирующего процесса) можно записать уравнение для апостериорной плотности вероятности вектора состояния в любой момент времени. Данное дифференциальное уравнение носит название уравнение Стратоновича. Уравнение Стратоновича в общем виде не решается. Аналитическое решение удается получить только в случае ряда ограничений (предположений):

гауссовости априорных и апостериорных плотностей вероятности вектора состояния на любой момент времени (в том числе начальный)
гауссовости формирующих шумов
гауссовости шумов наблюдений
белости шумов наблюдений
линейности модели наблюдений
линейности модели формирующего процесса (который, напомним, должен являться марковским процессом)

Классический фильтр Калмана является уравнениями для расчета первого и второго момента апостериорной плотности вероятности (в смысле вектора математических ожиданий и матрицы дисперсий, в том числе взаимных) при данных ограничениях. Ввиду того, что для нормальной плотности вероятности математическое ожидание и дисперсионная матрица полностью задают плотность вероятности, можно сказать, что фильтр Калмана рассчитывает апостериорную плотность вероятности вектора состояния на каждый момент времени. А значит полностью описывает вектор состояния как случайную векторную величину.

Расчетные значения математических ожиданий при этом являются оптимальными оценками по критерию среднеквадратической ошибки, что и обуславливает его широкое применение.

Существует несколько разновидностей фильтра Калмана, отличающихся приближениями и ухищрениями, которые приходится применять для сведения фильтра к описанному виду и уменьшения его размерности:

Расширенный фильтр Калмана (EKF, Extended Kalman filter). Сведение нелинейных моделей наблюдений и формирующего процесса с помощью линеаризации посредством разложения в ряд Тейлора .
Unscented Kalman filter (UKF). Используется в задачах, в которых простая линеаризация приводит к уничтожению полезных связей между компонентами вектора состояния. В этом случае «линеаризация» основана на unscented -преобразовании.
Ensemble Kalman filter (EnKF). Используется для уменьшения размерности задачи.
Возможны варианты с нелинейным дополнительным фильтром, позволяющим привести негауссовские наблюдения к нормальным.
Возможны варианты с «обеляющим» фильтром, позволяющим работать с «цветными» шумами
и т. д.

Используемая модель динамической системы

Фильтры Калмана базируются на дискретизированных по времени линейных динамических системах . Такие системы моделируются цепями Маркова при помощи линейных операторов и слагаемых с нормальным распределением . Состояние системы описывается вектором конечной размерности - вектором состояния . В каждый такт времени линейный оператор действует на вектор состояния и переводит его в другой вектор состояния (детерминированное изменение состояния), добавляется некоторый вектор нормального шума (случайные факторы) и в общем случае вектор управления, моделирующий воздействие системы управления. Фильтр Калмана можно рассматривать как аналог скрытым моделям Маркова , с тем отличием, что переменные, описывающие состояние системы, являются элементами бесконечного множества действительных чисел (в отличие от конечного множества пространства состояний в скрытых моделях Маркова). Кроме того, скрытые модели Маркова могут использовать произвольные распределения для последующих значений вектора состояния, в отличие от фильтра Калмана, использующего модель нормально распределенного шума. Существует строгая взаимосвязь между уравнениями фильтра Калмана и скрытой модели Маркова. Обзор этих и других моделей дан Roweis и Chahramani (1999) .

При использовании фильтра Калмана для получения оценок вектора состояния процесса по серии зашумленных измерений необходимо представить модель данного процесса в соответствии со структурой фильтра - в виде матричного уравнения определенного типа. Для каждого такта k работы фильтра необходимо в соответствии с приведенным ниже описанием определить матрицы: эволюции процесса F k ; матрицу наблюдений H k ; ковариационную матрицу процесса Q k ; ковариационную матрицу шума измерений R k ; при наличии управляющих воздействий - матрицу их коэффициентов B k .

Иллюстрация работы фильтра. Квадратами помечены матрицы . Эллипсами помечены матрицы многомерных нормальных распределений (включая средние значения и ковариации). Не обведёнными оставлены векторы . В простейшем случае некоторые матрицы не изменяются во времени (не зависят от индекса k ), но всё равно используются фильтром в каждый такт работы.

Модель системы/процесса подразумевает, что истинное состояние в момент k получается из истинного состояния в момент k −1 в соответствии с уравнением:

F k - матрица эволюции процесса/системы, которая воздействует на вектор x k −1 (вектор состояния в момент k −1 );
B k - матрица управления, которая прикладывается к вектору управляющих воздействий u k ;
w k - нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Q k , который описывает случайный характер эволюции системы/процесса:

В момент k производится наблюдение (измерение) z k истинного вектора состояния x k , которые связаны между собой уравнением:

где H k - матрица измерений, связывающая истинный вектор состояния и вектор произведенных измерений, v k - белый гауссовский шум измерений с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей R k :

Начальное состояние и векторы случайных процессов на каждом такте {x 0 , w 1 , …, w k , v 1 , …, v k } считаются независимыми .

Многие реальные динамические системы нельзя точно описать данной моделью. На практике неучтённая в модели динамика может серьёзно испортить рабочие характеристики фильтра, особенно при работе с неизвестным стохастическим сигналом на входе. Более того, неучтённая в модели динамика может сделать фильтр неустойчивым . С другой стороны, независимый белый шум в качестве сигнала не будет приводить к расхождению алгоритма. Задача отделения шумов измерений от неучтенной в модели динамики сложна, решается она с помощью теории робастных систем управления .

Фильтр Калмана

Фильтр Калмана является разновидностью рекурсивных фильтров . Для вычисления оценки состояния системы на текущий такт работы ему необходима оценка состояния (в виде оценки состояния системы и оценки погрешности определения этого состояния) на предыдущем такте работы и измерения на текущем такте. Данное свойство отличает его от пакетных фильтров, требующих в текущий такт работы знание истории измерений и/или оценок. Далее под записью будем понимать оценку истинного вектора в момент n с учетом измерений с момента начала работы и по момент m включительно.

Состояние фильтра задается двумя переменными:

Итерации фильтра Калмана делятся на две фазы: экстраполяция и коррекция. Во время экстраполяции фильтр получает предварительную оценку состояния системы (в русскоязычной литературе часто обозначается , где означает «экстраполяция», а k - номер такта, на котором она получена) на текущий шаг по итоговой оценке состояния с предыдущего шага (либо предварительную оценку на следующий такт по итоговой оценке текущего шага, в зависимости от интерпретации). Эту предварительную оценку также называют априорной оценкой состояния, так как для её получения не используются наблюдения соответствующего шага. В фазе коррекции априорная экстраполяция дополняется соответствующими текущими измерениями для коррекции оценки. Скорректированная оценка также называется апостериорной оценкой состояния, либо просто оценкой вектора состояния . Обычно эти две фазы чередуются: экстраполяция производится по результатам коррекции до следующего наблюдения, а коррекция производится совместно с доступными на следующем шаге наблюдениями, и т. д. Однако возможно и другое развитие событий, если по некоторой причине наблюдение оказалось недоступным, то этап коррекции может быть пропущен и выполнена экстраполяция по нескорректированной оценке (априорной экстраполяции). Аналогично, если независимые измерения доступны только в отдельные такты работы, всё равно возможны коррекции (обычно с использованием другой матрицы наблюдений H k ).

Этап экстраполяции

Этап коррекции

Отклонение полученного на шаге k наблюдения от наблюдения, ожидаемого при произведенной экстраполяции:
Ковариационная матрица для вектора отклонения (вектора ошибки):
Оптимальная по Калману матрица коэффициентов усиления, формирующаяся на основании ковариационных матриц имеющейся экстраполяции вектора состояния и полученных измерений (посредством ковариационной матрицы вектора отклонения):
Коррекция ранее полученной экстраполяции вектора состояния - получение оценки вектора состояния системы:
Расчет ковариационной матрицы оценки вектора состояния системы:

Выражение для ковариационной матрицы оценки вектора состояния системы справедливо только при использовании приведенного оптимального вектора коэффициентов. В общем случае это выражение имеет более сложный вид.

Инварианты

Если модель абсолютно точна и абсолютно точно заданы начальные условия и , то следующие величины сохраняются после любого количества итераций работы фильтра - являются инвариантами:

Математические ожидания оценок и экстраполяций вектора состояния системы, матрицы ошибок являются нуль-векторами:

где - математическое ожидание .

Расчетные матрицы ковариаций экстраполяций, оценок состояния системы и вектора ошибок совпадают с истинными матрицами ковариаций:

Пример построения фильтра

Представим себе вагонетку , стоящую на бесконечно длинных рельсах при отсутствии трения . Изначально она покоится в позиции 0, но под действием случайных факторов на неё действует случайное ускорение . Мы измеряем положение вагонетки каждые ∆t секунд, но измерения неточны. Мы хотим получать оценки положения вагонетки и её скорости. Применим к этой задаче фильтр Калмана, определим все необходимые матрицы.

В данной задаче матрицы F , H , R и Q не зависят от времени, опустим их индексы. Кроме того, мы не управляем вагонеткой, поэтому матрица управления B отсутствует.

Координата и скорость вагонетки описывается вектором в линейном пространстве состояний

где - скорость (первая производная координаты по времени).

Будем считать, что между (k −1 )-ым и k -ым тактами вагонетка движется с постоянным ускорением a k , распределенным по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением σ a . В соответствии с механикой Ньютона можно записать

Ковариационная матрица случайных воздействий

(σ a - скаляр).

На каждом такте работы производится измерение положения вагонетки. Предположим, что погрешность измерений v k имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением σ z . Тогда

и ковариационная матрица шума наблюдений имеет вид

Начальное положение вагонетки известно точно

, .

Если же положение и скорость вагонетки известна лишь приблизительно, то можно инициализировать матрицу дисперсий достаточно большим числом L , чтобы при этом число превосходило дисперсию измерений координаты

, .

В этом случае на первых тактах работы фильтр будет с бо́льшим весом использовать результаты измерений, чем имеющуюся априорную информацию.

Вывод формул

Ковариационная матрица оценки вектора состояния

По определению ковариационной матрицы P k |k

подставляем выражение для оценки вектора состояния

и расписываем выражение для вектора ошибок

и вектора измерений

выносим вектор погрешности измерений v k

так как вектор погрешности измерений v k не коррелирован с другими аргументами, получаем выражение

в соответствии со свойствами ковариации векторов данное выражение преобразуется к виду

заменяя выражение для ковариационной матрицы экстраполяции вектора состояния на P k |k −1 и определение ковариационной матрицы шумов наблюдений на R k , получаем

Полученное выражение справедливо для произвольной матрицы коэффициентов, но если в качестве неё выступает матрица коэффициентов, оптимальная по Калману, то данное выражение для ковариационной матрицы можно упростить.

Оптимальная матрица коэффициентов усиления

Фильтр Калмана минимизирует сумму квадратов математических ожиданий ошибок оценки вектора состояния.

Вектор ошибки оценки вектора состояния

Стоит задача минимизировать сумму математических ожиданий квадратов компонент данного вектора

что эквивалентно минимизации следа ковариационной матрицы оценки вектора состояния P k |k . Подставим в выражение для ковариационной матрицы оценки вектора состояния имеющиеся выражения и дополним до полного квадрата:

Заметим что, последнее слагаемое является ковариационной матрицей некоторой случайной величины, поэтому его след неотрицателен. Минимум следа достигнется при обнулении последнего слагаемого:

Утверждается, что данная матрица является искомой и при использовании в качестве матрицы коэффициентов в фильтре Калмана минимизирует сумму средних квадратов ошибок оценки вектора состояния.

Ковариационная матрица оценки вектора состояния при использовании оптимальной матрицы коэффициентов

Выражение для ковариационной матрицы оценки вектора состояния P k |k при использовании оптимальной матрицы коэффициентов примет вид:

Данная формула вычислительно проще и поэтому практически всегда используется на практике, но она корректна только при использовании оптимальной матрицы коэффициентов. Если ввиду малой вычислительной точности возникает проблема с вычислительной устойчивостью, либо специально используется матрица коэффициентов, отличная от оптимальной, следует использовать общую формулу для ковариационной матрицы оценки вектора состояния.

Критика фильтра Калмана

На настоящий момент основная критика фильтра Калмана ведётся по следующим направлениям

Пусть имеется некоторая система, состояние которой однозначно характеризуется определенным набором величин, как правило, недоступных для измерения (аектор состояния системы).

Имеется ряд переменных. Некоторым образом, связанных с состоянием системы, которую можно измерить с заданной точностью. Алгоритм фильтра Калмана позволяет в реальном времени построить реальную оценку состояния системы, основываясь на измерениях, содержащих погрешности. Вектор измерений рассматривается в качестве многомерного выходного сигнала системы, при этом зашумленного, вектор состояния – неизвестный многомерный сигнал, подлежащий определению условием оптимальности построенной оценки является min ее средне – кв. ошибки.

Особенности фильтра Калмана:

Позволяет получит решение задачи, сформулированной в пр……………сост

Фильтр является не стационарным

Имеет рекурентную форму, то есть удобен для программирования. Новые оценки получаются корректировкой старых на основе новых наблюдений.

В общем случае задано п – мерное гильбертово пр – во.

Задан процесс, формируемый линейной динамичной системой, названной формирующим фильтром

Dx/dt =A(t) x(t) +B(t)u(t)+V(t)

X(t) - случайный п – мерный процесс.

- U(t) - c куч. процесс в виде б.ш.с ковариационной матрицей

K u (t , M   (t)  (t-  )

Х(t) наблюдается с помощью измерителя:

Y(t) = c(t)x(t) +n(t)

n(t) = Б.Ш.

K n (t ,  ) = M=R(t)  (t-  )

Основываясь на наблюдениях у в течение интервала времени , нужно найти оценку сигнала x(t) tx(t))

x (t)=x(t) – x(t) - ошибка оценивания

Критерием оптимальности является ее кв. Форма

//X(t) // 2  min

Процессы u(t) иx(t) иV(t) и n(t) не коррелированы, а формирующий фильтр удовлетворяет условиям физической реализуемости.

U(t)x(t) x(t)n(t)

Фф – формирующий фильтр

U(t) y(t)

x(t) x(t)

Динамические свойства системы зависят от L, выбор L обеспечивает

X(t) – x(t)  o

t 

Начальные условия на каждом новом цикле алгоритма служит оценка состояния системы и величина характеризует ее погрешность.

Алгоритм последовательно обрабатывает вновь поступающие векторы измерений, учитывая при этом значении, выч. на предыдущем цикле. На сп. Шаге, с обрабат измерений, уточняются н.у. для этого алгоритма выч. без поправок к ним на основе ковареац.матриц. Исправленные т.о. н.у. и являются выходными данными фильтра Калмана на каждом цикле. На заключительном этапе алгоритма происходит подготовка к поступлению нового вектора измерений. На основе заданного линейного преобразования, связывая его последующий вектор состояния с предыдущим, прогнозируется оценка состояния системы в момент следующее измерение.

Рассмотрим многомерный фильтр Калмана для стационарного случая. Должно быт известно само описание объекта:

X(K+1) = Ax(K)+Bu(K)+V(k)

Y(K) = cx(K0+n(K)

A 1 B 1 C=const (стационарный случай)

Должна быть известна априорная информация о сигнале:

M[x] =x o u cov [x] =  o

Должна быть известна априорная информация о шуме, то есть Р (v) – гаусовская плотность M[v]=o ; cov[V]=V

P(n)  M[n]=o ; cov[n]=N

V - шум объекта; n - шум измерения

Алгоритм работы фильтра Калмана:

X(K+1) = Ax(k)+Bu(k)+L(K+1)

Каждая оценка получается на основании предыдущего x(K) и на основании текущего измерения y(u+1) ; предсказывает текущую выборку – Ax(u)+Bu(K) - экстраполир.состояние.

L Cbu(K) корректирует текущую оценку на основании оценки ошибки

C - новизна между наблюдавшимся и предсказанным значением.

L(K+1) - изменяющийся во времени коэффициент Калмана.

L= KoC 1 p -1 p - матрица самого сигнала; Ko - единственное положительно определенное решение алгебраичного матричного уравнения (уравнение Реккати)

Этот идентификатор должен быть устойчив, то есть собственное значение матрицы имеет «-« вещественную часть.

Уравнение фильтра Калмана однозначно определяет все коэффициенты идентификатора по данным о характерах помех в соответствии с выбором критерия min CK погрешности.

Запишем рекурентную форму:

L(K+1) =  (K+1) c 1 -1 = P(K+1)C 1 N -1

(K+1) = AP(K)A 1 +V

P(K+1)= [  -1 (K+1)>C 1 N -1 C] -1 =  (K+1)-  (K+1)C 1 -1 c  (k+1)

(K+1)- априорное значение ковариац.матрицы сигнала x , основанное на k наблюдениях.

Сначала вычисляется:

1.  (k+1)

2. P(k+1)

3. L(k+1)

4. x(k+1)

Пример: упрощенный т.к.: априорный случай (скамерный фильтр Калмана); и с=1

Рассматривание стационарных случайных сигнал x(k) с известными статистическими характерами, искажается стац.б.ш. max / наилучшим образом оценить х(и)

X(k+1) = ax(k) +v(k)

Y(k) = x(k)+n(k)

X(o)= x o P(o)=P o

M[v]=o M=V  ij

M[k]=o M=N  ij

M=O

x^(n+1)=ax(k)+L(k+1)

l(k+1)=  (k+1)[  (k+1)+N] -1 =  (k+1)/  (k+1)+N

(k+1)=AP(k)A 1 +V=a 2 P(k)+v

P(k+1)=[  -1 (k+1)+N -1 ] -1 =  (k+1)N/  (k+1)+N

X(k+1)=(1-l(k+1))ax(k)+l(k+1)y(k+1)=N /  (k+1)+N ax(k)+  (k+1)/  (k+1)+N y(k+1)

L 

L(k+1)+  (k+1)=1

Предположим, что есть априорная информация:

X o =o P o =o N=V  =

K  (k) l(k) P(k)

1 N 0,5 0,5N

2 1 ,25 N 0 ,555 0,555 N

3 1 ,28 N 0,56 0,56N

4 1 ,28 N 0,56 0,56N

x o =o P o =  N=V a=

k  (k) l(k) P(k)

o 

1  1 N

2 1 ,5 N 0 ,6 0,6 N

3 1,3N 0 ,565 0,565 N

4 1 ,283 N 0 ,56 0,565 N

5 1 ,28 N 0 ,56 0,56 N

0 ,56 N

P(k) =P(k-1)=P - условие стационарности фильтра

Р =  N/  +N =(a 2 P+V)N/ a 2 P +N+V

(a 2 P +V)N =PN+P(a 2 P+V)

P 2 + N+V-a 2 N/a 2  P – VN/a 2 =O

P 2 +3Np – 2N 2 =O

P = 0 ,56 N

Коэффициент усиления L не зависит от наблюдений и может быть вычислен заранее для всей процедуры.

Зависимость от времени матриц A , B , С не вносит принципиальных изменений (когда эти матрицы полностью известны)

Фильтр Калмана реализует процесс паралистического оценивания.

При порциальном распределении случайных величин в стационарном случае рассматриваемый фильтр оптимален, в смысле метода полим. Квадратов, если система не стационарна, то фильтр оптимален.

Одновременное оценивание параметров и состояние объекта

Рассматривая задачу оценки состояний, когда известна лишь структура матрицы объекта, то есть известны функции, которые содержат матрицы, и не известны значения параметров, которые содержат сами функции. Прямой подход к решению такой задачи предполагает расширение вектора состояний за счет неизвестных параметров.

U(t) x 1 (t)

Y 1 (t)

Y 2 (t)

Необходимо оценить состояние х и среднее значение помехи п по доступным наблюдениям сигналов у 1 и у 2 при этом а неизвестен.

Составим расширенный вектор состояния, который мы будем определять:

X 1 (t) x 1 (t)

X(t)= a = x 2 (t)

N x 3 (t)

A=n=o (так как не являются фильтрами времени)

X 1 (t)/u(t) = 1/a+s x 1 o (t) = -x 1 (t)x 2 (t)+u(t)

X 1 (t) = u(t)/a+s

X 1 (t)(a+s)= u(t)  x 1  x 2 +sx 1 =u

Для вектора состояния записать уравнение связи x(t) и u(t) невозможно.

X = A(x(t)+B(x(t),t) u(t)

-x 1 +x 2 (t) 1

A = o B = o

Рассмотрим вектор наблюдений

Y(t) =c(x(t) , t) + v(t)

C(x(t) , t) =

V(t) =

Пусть объект описывается

X = j (x,u , a , v , t)

Y = g(x,u ,с, n , t)

X  (x ,u, a , v , t)

[x/a ] нельзя преобразовать к M - линейная форма, где М не зависит от х и а .

Даже для линейного объекта задача совместная.

Оценивание параметров и состояний относительно этого вектора параметров и состояния. Все подходы должны осуществляться на основе настраивания модели и иметь итеративный характер.

Рассмотрим на основании выборочных сигналов:

X(k+1) = t(x(k), u(k) , a(k), v(k), k)

Y9k) = g(x(k) , n(k) ,с(k ), n(k) , k)

Используется нелинейный нестационарный объект

(x(k), u(k) , a(k), k) + G(k)V(k)g(x(k)u(k)c(k)k)+n(k)

(шум объекта аддитивный) (шум наблюдений аддетивный)

A(k)x(k) +B(k)u(k) c(k)x(k)+D(k)u(k)

(линейный объект) наблюдаемое линейно-относительных переменных состояний

Ax(k)+Bu(k) cx(k) + Du(k)

(стационарный объект) матрица наблюдений постоянная)

(k)=o

В таком виде задача называется двухточечной.

Идентификация нелинейных объектов

Тип нелинейности Гаммерштейна.

Эта модель опирается на предположение, что нелинейность и динамику можно разделить. Это можно представить в виде последовательных комбинаций 2х звеньев: нелинейного инерционного и динамического линейного.

U(t) y(t)

Y(t) = d 